Если результат деления произведения двух целых чисел на 77 является целым числом, это означает, что оба числа нечётные?

Чтобы понять данную задачу, давайте рассмотрим ее сначала в обратную сторону. Если исходное условие верно, то значит, что результат деления произведения двух целых чисел на 77 является целым числом. То есть, если \( \frac{{a \cdot b}}{77} = c \), где a и b - целые числа, а c - целое число.

Теперь давайте предположим, что оба числа, a и b, являются нечетными. Нечетные числа обычно записываются в виде \( 2k+1 \), где k может быть любым целым числом.

Перепишем уравнение, подставив вместо a и b нечетные числа:
\[ \frac{{(2k_1 + 1) \cdot (2k_2 + 1)}}{77} = c \]

Упростим это уравнение:
\[ \frac{{4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1}}{77} = c \]

Теперь давайте предположим, что \( 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1 \) делится на 77 без остатка.

При делении на 77, остатки могут быть от 0 до 76. Однако, в данном случае, мы имеем деление без остатка, что означает, что остаток равен нулю.

Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом:
\[ 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1 \equiv 0 \pmod{77} \]

Теперь давайте рассмотрим остаток от деления каждого слагаемого на 77.

Остаток от деления на 77 вычисляется путем деления числа на 77 и нахождения остатка от деления.

Остаток от деления \( 4k_1k_2 \) на 77 будет равен остатку от деления \( 4 \cdot 0 \) на 77, что равно 0.

Остаток от деления \( 2k_1 \) на 77 будет равен остатку от деления \( 2 \cdot 0 \) на 77, что равно 0.

Остаток от деления \( 2k_2 \) на 77 будет равен остатку от деления \( 2 \cdot 0 \) на 77, что равно 0.

Остаток от деления 1 на 77 будет равен 1.

Таким образом, получаем:
\[ 0 + 0 + 0 + 1 \equiv 0 \pmod{77} \]

Однако, у нас получилось, что \( 1 \equiv 0 \pmod{77} \), что противоречит определению модулярного равенства.

Таким образом, наше предположение о том, что оба числа, a и b, являются нечетными, было неверным.

Итак, ответ на задачу: из условия нельзя сделать вывод, что оба числа нечетные. Возможны и другие варианты, когда результат деления произведения двух целых чисел на 77 является целым числом.