Если радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 4 см, а периметр треугольника равен, то какова

Чтобы найти длину гипотенузы треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора, которая применяется к прямоугольным треугольникам. В данном случае, радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 4 см. Обозначим эту величину как \(r\).

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Давайте обозначим длины катетов как \(a\) и \(b\), а длину гипотенузы как \(c\). Тогда у нас есть следующие соотношения:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Наши цели состоят в том, чтобы найти длину гипотенузы треугольника. У нас уже есть некоторая информация о треугольнике: радиус \(r = 4\) см и периметр треугольника \(P\).

Периметр треугольника определяется как сумма длин его сторон. Для прямоугольного треугольника мы можем записать формулу для периметра:

\[P = a + b + c\]

Однако у нас есть только две из трех значений сторон. Мы можем использовать информацию о радиусе вписанной окружности, чтобы решить эту проблему.

Окружность вписана в треугольник, а значит, она касается всех сторон треугольника. Так как радиус равен 4 см, он является расстоянием от центра окружности до любой из сторон треугольника.

Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти соотношение между радиусом и длинами сторон.

Заметим, что прямоугольный треугольник можно разделить на два равных треугольника, каждый из которых является подобным исходному треугольнику. Если мы обозначим длину меньшего катета как \(x\), то длины большего катета и гипотенузы также должны быть пропорциональны \(x\).

Пусть \(\frac{x}{4} = k\) будет коэффициентом пропорциональности. Тогда длина меньшего катета будет равна \(4 \cdot k = 4k\) см, а длина большего катета и гипотенузы будут равны \(4k \cdot \sqrt{2}\) см и \(4k \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\) см, соответственно.

Теперь мы можем записать выражение для периметра треугольника в виде:

\[P = 4k + 4k \cdot \sqrt{2} + 4k \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\]

Упростим это выражение:

\[P = 4k + 4k \cdot \sqrt{2} + 4k \cdot 2\]

\[P = 4k + 4k \cdot \sqrt{2} + 8k\]

\[P = 12k + 4k \cdot \sqrt{2}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(k\).

\[12k + 4k \cdot \sqrt{2} = P\]

\[k = \frac{P}{12 + 4 \cdot \sqrt{2}}\]

Мы нашли значения для коэффициента пропорциональности \(k\). Теперь мы можем использовать его, чтобы найти длину гипотенузы треугольника (сторону \(c\)):

\[c = 4k \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4k \cdot 2 = 8k\]

Подставим значение \(k\) в это выражение:

\[c = 8 \cdot \frac{P}{12 + 4 \cdot \sqrt{2}}\]