На рисунке 311,б представлен треугольник, который является правильным и вписанным в окружность с радиусом r.s=10

Для решения этой задачи нам понадобится знание некоторых свойств вписанных треугольников.

В вписанном треугольнике, у которого все стороны касаются окружности, существует ряд интересных соотношений. Одно из них связано с радиусом окружности, в которую вписан треугольник. Если \( r_s \) обозначает радиус вписанной окружности, то для любой стороны треугольника \( a_i \) выполнено следующее соотношение:

\[ a_i = 2 \cdot r_s \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

где \( \pi \) - математическая константа, округленная до 3,14, а \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \) - значение синуса угла равностороннего треугольника.

Также, у нас есть информация о радиусе вписанной окружности. В нашем случае \( r_s = 10 \).

Теперь давайте найдем периметр треугольника \( a_3 \). У нас есть два равных угла и две равные стороны в нашем равностороннем треугольнике. Чтобы найти \( a_3 \), нам нужно умножить одну из сторон на 3.

\[ a_3 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot a_3 \]

Теперь, подставив формулу для нахождения \( a_i \), получим:

\[ a_3 = 3 \cdot 2 \cdot 10 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Рассчитаем значение \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \):

\[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставим это значение в нашу формулу:

\[ a_3 = 3 \cdot 2 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Упростим выражение:

\[ a_3 = 30 \sqrt{3} \]

Теперь давайте найдем радиус вписанной окружности:

Из формулы, которую упоминали ранее, мы знаем, что для стороны треугольника \( a_i \) радиус вписанной окружности равен:

\[ r_s = \frac{a_i}{2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)} \]

Подставим значение \( a_3 \) и упростим выражение:

\[ r_s = \frac{30 \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Сократим это выражение:

\[ r_s = 15 \]

Таким образом, периметр треугольника \( a_3 \) равен \( 30 \sqrt{3} \), а радиус вписанной окружности \( r_s \) равен 15.