Если прямые y=2x+3 и y=-x+b пересекаются в первой четверти, то в каких случаях выполняются следующие неравенства

Для решения этой задачи, вспомним, что две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда значения их \(x\)-координат и \(y\)-координат равны.

1) -2b < 2

Для начала найдем точку пересечения двух прямых. Для этого, приравняем выражения для \(y\):

2x + 3 = -x + b

Получим уравнение:

3x + x = b - 3

4x = b - 3

Теперь найдем значение \(x\). Разделим обе части уравнения на 4:

\[x = \frac{b - 3}{4}\]

Так как прямые пересекаются в первой четверти, значит \(x > 0\). Подставим это условие в наше уравнение:

\[\frac{b - 3}{4} > 0\]

Теперь решим это неравенство:

\[b - 3 > 0\]

\[b > 3\]

Итак, для неравенства \( -2b < 2\), выполняется при условии \( b > 3\).

2) 2 < -4x + b

Аналогично, найдем точку пересечения двух прямых, приравнивая выражения для \(y\):

2x + 3 = -x + b

Получим уравнение:

3x + x = b - 3

4x = b - 3

\[x = \frac{b - 3}{4}\]

Так как прямые пересекаются в первой четверти, значит \(x > 0\). Подставим это условие в наше уравнение:

\[-4(\frac{b - 3}{4}) + b > 2\]

Упростим:

\[-(b - 3) + b > 2\]

\[-b + 3 + b > 2\]

\[3 > 2\]

Данное неравенство выполняется для любого значения \(b\), так как 3 всегда больше 2.

3) 2 < 3x + b

Аналогично, найдем точку пересечения двух прямых, приравнивая выражения для \(y\):

2x + 3 = -x + b

Получим уравнение:

3x + x = b - 3

4x = b - 3

\[x = \frac{b - 3}{4}\]

Так как прямые пересекаются в первой четверти, значит \(x > 0\). Подставим это условие в наше уравнение:

\[2 < 3(\frac{b - 3}{4}) + b\]

Упростим:

\[2 < \frac{3b - 9}{4} + b\]

Переведем все в общий знаменатель:

\[2 < \frac{3b - 9 + 4b}{4}\]

\[2 < \frac{7b - 9}{4}\]

Умножим обе части уравнения на 4:

\[8 < 7b - 9\]

Добавим 9 к обеим частям уравнения:

\[17 < 7b\]

Теперь разделим обе части уравнения на 7:

\[b > \frac{17}{7}\]

Итак, для неравенства \(23 < 3x + b\), выполняется при условии \(b > \frac{17}{7}\).

Таким образом, мы нашли условия, при которых выполняются заданные неравенства.