Если корабль в стоячей воде колеблется вертикально с периодом Т = 2 секунды, то какова масса М корабля, если

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся законом Архимеда. Закон Архимеда гласит, что величина поддерживающей силы, действующей на тело, погружённое в жидкость, равна весу вытесненной этим телом жидкости.

В нашем случае, корабль находится в стоячей воде, поэтому мы можем применить этот закон. Вес корабля, равный массе корабля умножить на ускорение свободного падения \( g \), должен быть равен поддерживающей силе, возникающей из-за вытеснения воды кораблем.

Давайте посчитаем поддерживающую силу, выраженную через плотность воды \( \rho \), объем вытесненной воды \( V \) и ускорение свободного падения \( g \):

\[ F_{\text{подд}} = \rho \cdot V \cdot g \tag{1} \]

Объем вытесненной воды можно рассчитать, умножив площадь сечения корабля \( S \) на амплитуду колебаний \( A \):

\[ V = S \cdot A \tag{2} \]

Согласно условию задачи, период колебаний \( T \) равен 2 секунды. Мы знаем, что для маятника период колебаний связан с ускорением свободного падения и амплитудой колебаний следующим образом:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \tag{3} \]

Здесь \( L \) - эффективная длина маятника, которая в нашем случае соответствует половине амплитуды колебаний \( A \).

Объединим формулы (1), (2) и (3) и решим уравнение относительно массы корабля \( M \):

\[ \rho \cdot S \cdot A \cdot g = \rho \cdot V \cdot g = M \cdot g \tag{4} \]

Cократим \( g \) и \( \rho \) с обеих сторон уравнения:

\[ S \cdot A = M \tag{5} \]

Итак, мы получили, что площадь сечения корабля \( S \) умноженная на амплитуду колебаний \( A \) равна массе корабля \( M \). Теперь подставим значения: площадь сечения \( S = 300 \) квадратных метров и период колебаний \( T = 2 \) секунды.

\[ M = S \cdot A = 300 \, \text{м}^2 \cdot A \tag{6} \]

Для вычисления амплитуды колебаний \( A \) воспользуемся формулой (3). Заметим, что по условию задачи эффективная длина маятника равняется половине амплитуды \( A \). Таким образом, \( L = \frac{A}{2} \).

\[\frac{A}{2} = \left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 \cdot g \tag{7} \]

Теперь мы можем решить полученное уравнение относительно \( A \):

\[ A = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 \cdot g} \tag{8} \]

Подставим значение периода колебаний \( T = 2 \) секунды и ускорение свободного падения \( g \approx 9.8 \) м/с^2:

\[ A = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\left( \frac{2}{2\pi} \right)^2 \cdot 9.8} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{1}{2\pi} \cdot 9.8} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{1.57} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 1.25 \approx 7.84 \, \text{м} \tag{9} \]

Теперь, зная амплитуду колебаний \( A \), мы можем вычислить массу корабля \( M \) по формуле (6):

\[ M = 300 \, \text{м}^2 \cdot 7.84 \, \text{м} = 2352 \, \text{кг} \]

Таким образом, масса корабля составляет 2352 кг при данных условиях задачи.