Если а> 0, b> 0, то докажите неравенство (9+1/а)(25+1/b)(1+4ab

Для доказательства данного неравенства, давайте воспользуемся неравенством о средних арифметическом и гармоническом.

Неравенство о средних арифметическом и гармоническом:

Для положительных чисел \( x \) и \( y \) выполняется неравенство:
\(\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} \leq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\)

Доказательство:

Пусть \( a > 0 \) и \( b > 0 \). Рассмотрим выражение:

\((9+\frac{1}{a})(25+\frac{1}{b})(1+4ab)\)

Применим неравенство о средних арифметическом и гармоническом к каждому из трех множителей:

1) Для множителя \( 9+\frac{1}{a} \):

Преобразуем выражение \( 9+\frac{1}{a} \) в квадратичную форму следующим образом:

\( 9+\frac{1}{a} = \frac{9a+1}{a} \)

Используя неравенство о средних арифметическом и гармоническом, имеем:

\( \frac{9a+1}{a} = \frac{a+\frac{1}{9a}}{2} \geq \sqrt{a*\frac{1}{9a}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \)

2) Для множителя \( 25+\frac{1}{b} \):

Аналогично преобразуем и применяем неравенство о средних арифметическом и гармоническом:

\( 25+\frac{1}{b} = \frac{25b+1}{b} \)

\( \frac{25b+1}{b} = \frac{b+\frac{1}{25b}}{2} \geq \sqrt{b*\frac{1}{25b}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} \)

3) Для множителя \( 1+4ab \):

Заметим, что данное выражение можно представить как:

\( 1+4ab = 1+2ab+2ab \)

Используя неравенство о средних арифметическом и гармоническом, получим:

\( 1+2ab+2ab = 1+ \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} \)

\( 1+ \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} = \frac{1+ab}{2} \geq \sqrt{ab} \)

Теперь умножим все полученные значения:

\( \frac{1}{3} * \frac{1}{5} * \sqrt{ab} = \frac{1}{15} * \sqrt{ab} = \sqrt{\frac{ab}{225}} \)

Итак, мы доказали неравенство:

\((9+\frac{1}{a})(25+\frac{1}{b})(1+4ab) \geq \sqrt{\frac{ab}{225}}\)

Исходя из условия задачи, \( a > 0 \) и \( b > 0 \). Следовательно, \( \sqrt{\frac{ab}{225}} > 0 \).

Таким образом, неравенство \((9+\frac{1}{a})(25+\frac{1}{b})(1+4ab) > 0 \) верно при \( a > 0 \) и \( b > 0 \).