1. Что нужно сделать, чтобы определить область определения функции по ее графику?

Чтобы определить область определения функции по ее графику, нужно учесть два основных фактора:

1. Ограничения на частоту изменения функции: Изучите график функции и определите все значения \(x\), при которых функция принимает определенные значения. Если на графике нет пропусков или отрезков, где функция не определена, то ограничений на частоту изменения функции нет, и ее область определения является полной числовой осью \(x\).

2. Исключения из множества определения: Проанализируйте график функции и обратите внимание на все вертикальные прямые или точки, где функция не определена. Такие точки могут возникнуть, когда функция имеет разрывы, например, из-за деления на ноль или из-за квадратного корня отрицательного числа. В таких случаях, область определения функции будет полной числовой осью \(x\) за исключением этих точек, которые должны быть исключены из множества значений \(x\).

Давайте рассмотрим пример графика функции и определим ее область определения.

Предположим, у нас есть график функции \(y = \frac{1}{x}\):

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel=\(x\),
ylabel=\(y\),
xmin=-5,
xmax=5,
ymin=-5,
ymax=5,
xtick={-4,-3,-2,-1,1,2,3,4},
ytick={-4,-3,-2,-1,1,2,3,4},
scaled ticks=false,
grid=major,
grid style={gray!15},
]
\addplot[blue, domain=-5:-0.2, samples=100] {1/x};
\addplot[blue, domain=0.2:5, samples=100] {1/x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Из графика видно, что функция принимает все значения, кроме нуля. Поэтому, область определения этой функции будет \(-\infty < x < 0\) и \(0 < x < +\infty\).

В данном примере, мы исключили значение 0, так как функция не определена при \(x = 0\). В остальных случаях, функция определена и принимает конечные значения.

Таким образом, чтобы определить область определения функции по ее графику, необходимо исследовать график на наличие пропусков или точек, где функция не определена, и учесть эти исключения при задании области определения функции.