Докажите равенство площади закрашенного четырехугольника и суммы площадей закрашенных треугольников, используя данную

Для доказательства равенства площади закрашенного четырехугольника и суммы площадей закрашенных треугольников воспользуемся данной схемой и применим несколько шагов.

1. Разобьем четырехугольник на два треугольника, соединив его диагональю с противоположным углом. Обозначим полученные треугольники как \( \Delta ABC \) и \( \Delta ACD \), где \( A \), \( B \) и \( C \) - вершины четырехугольника, а \( D \) - середина диагонали.

2. Теперь рассмотрим закрашенные треугольники внутри четырехугольника. Закрашенные треугольники внутри \( \Delta ABC \) обозначим как \( \Delta ABE \) и \( \Delta BCE \), где точка \( E \) - точка пересечения прямых, проведенных из вершин \( B \) и \( C \) к середине диагонали \( D \). Закрашенные треугольники внутри \( \Delta ACD \) обозначим как \( \Delta AED \) и \( \Delta CED \), где точка \( E \) - точка пересечения прямых, проведенных из вершин \( A \) и \( C \) к середине диагонали \( D \).

3. Сумма площадей треугольников \( \Delta ABC \) и \( \Delta ACD \) равна их общей площади. Обозначим площадь треугольника \( \Delta ABC \) как \( S_{ABC} \) и площадь треугольника \( \Delta ACD \) как \( S_{ACD} \).

4. Площадь закрашенного четырехугольника равна разности общей площади четырехугольника \( S_{ABCD} \) и площади треугольников \( \Delta ABC \) и \( \Delta ACD \):

\[ S_{\text{закрашенного четырехугольника}} = S_{ABCD} - S_{ABC} - S_{ACD} \]

5. Также, площадь закрашенного четырехугольника может быть получена суммой площадей закрашенных треугольников:

\[ S_{\text{закрашенного четырехугольника}} = S_{ABE} + S_{BCE} + S_{AED} + S_{CED} \]

6. Объединим эти два выражения для площади закрашенного четырехугольника:

\[ S_{ABCD} - S_{ABC} - S_{ACD} = S_{ABE} + S_{BCE} + S_{AED} + S_{CED} \]

7. Теперь докажем, что \( S_{ABE} + S_{BCE} = S_{ABC} \) и \( S_{AED} + S_{CED} = S_{ACD} \).

- Треугольники \( \Delta ABE \) и \( \Delta ABC \) имеют общую высоту, опущенную из вершины \( B \) на основание \( AC \). Поскольку высота одинакова, а основания \( AE \) и \( EC \) равны, то площади этих треугольников должны быть равными: \( S_{ABE} = S_{ABC} \).
- Аналогично, треугольники \( \Delta AED \) и \( \Delta ACD \) имеют общую высоту, опущенную из вершины \( A \) на основание \( CD \). Поскольку высота одинакова, а основания \( AE \) и \( EC \) равны, то площади этих треугольников должны быть равными: \( S_{AED} = S_{ACD} \).

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей закрашенных треугольников равна площади закрашенного четырехугольника:

\[ S_{\text{закрашенного четырехугольника}} = S_{ABC} + S_{ACD} \]

Что и требовалось доказать.