В параллелограмме ABCD, точка M является серединой стороны AD, а точка P - точкой пересечения отрезка BM с диагональю

Поставленная задача требует доказательства двух утверждений. Давайте начнем с первого вопроса.

а) Чтобы доказать, что прямая DP проходит через середину стороны AV, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и свойства серединного перпендикуляра.

Заметим, что на основании параллелограмма ABDC, стороны AB и CD параллельны. Рассмотрим треугольник BCD. Так как M является серединой стороны AD, то отрезок BM также делит сторону CD пополам, а значит, BM || AC.

Таким образом, у нас есть две параллельные прямые: BM и AC. Из свойств пересекающихся прямых следует, что точка P, являющаяся точкой пересечения отрезка BM с диагональю AC, делит эту диагональ пополам. Следовательно, P - середина стороны AC.

Теперь рассмотрим треугольник DPC. Так как DP и AV являются диагоналями параллелограмма ABCD, то они пересекаются в точке O (давайте обозначим эту точку). Так как O - точка пересечения диагоналей параллелограмма, то она лежит на их серединном перпендикуляре.

Из предыдущего утверждения следует, что отрезок OQ является серединным перпендикуляром к отрезку DP. Так как O лежит на серединном перпендикуляре и PQ || AV, то точка Q - середина отрезка AV.

Таким образом, мы доказали, что прямая DP проходит через середину стороны AV.

б) Чтобы найти отношение PM:BQ, обратимся к треугольнику PMB. Мы знаем, что BM является медианой параллелограмма ABCD, поэтому по свойствам медианы \(\frac{{PM}}{{MB}} = \frac{2}{3}\).

Теперь рассмотрим треугольник VMQ. Из доказанного выше следует, что Q является серединой отрезка AV. Из условия задачи также известно, что AB:AC=1, что означает, что AV делится точкой Q пополам.

То есть, мы знаем, что VQ = QA. Из треугольника PQB следует, что \(\frac{{BQ}}{{VQ}} = \frac{{BQ}}{{QA}} = \frac{{PM}}{{MB}} = \frac{2}{3}\).

Итак, мы получили, что отношение PM:BQ равно \(\frac{2}{3}\).

Таким образом, мы доказали оба утверждения и ответили на все вопросы задачи.