Сколько точек пересечения имеют 12 прямых, среди которых есть ровно 5 параллельных друг другу и ни одна тройка

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать комбинаторику и свойства прямых в плоскости.

Давайте рассмотрим различные случаи возможных пересечений прямых:

1. Пересечение параллельных прямых: Параллельные прямые не пересекаются и не создают точки пересечения между собой.

2. Пересечение непараллельных прямых: Для нахождения количества точек пересечения непараллельных прямых, мы можем использовать формулу сочетаний для выбора 2 прямых из 12. Формула для подсчета количества сочетаний из n элементов по k:
\[C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
В нашем случае, n = 12 и k = 2:
\[C(12,2) = \frac{{12!}}{{2!(12-2)!}} = \frac{{12!}}{{2!10!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10!}}{{2!}} = \frac{{12 \cdot 11}}{2} = 66\]
Таким образом, имеется 66 пар непараллельных прямых, которые могут пересекаться.

3. Отсутствие троек, проходящих через одну точку: У нас 12 прямых, поэтому есть \(\binom{12}{3}\) троек прямых, которые могут образовывать точку пересечения. Чтобы избежать этого, нам нужно найти количество троек, которые создают точку пересечения и вычесть это количество из общего количества троек \(\binom{12}{3}\):
\[\binom{12}{3} - \binom{5}{3} = \frac{{12!}}{{3!(12-3)!}} - \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} = \frac{{12!}}{{3!9!}} - \frac{{5!}}{{3!2!}} = 220 - 10 = 210\]

Итак, для нахождения общего количества точек пересечения, мы складываем количество точек пересечения от непараллельных прямых (66) и количество точек пересечения от отсутствующих троек (210):
\(66 + 210 = 276\)

Таким образом, у нас имеется 276 точек пересечения для 12 прямых с условиями, указанными в задаче.