Как можно записать вектор OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→− в данной трапеции ABCD, где AD = 12BC?

Для начала, давайте вспомним некоторые основные свойства векторов. Векторы могут быть сложены, вычитаны, умножены на число и перемещены по пространству. В данной задаче мы используем эти свойства для нахождения вектора \(\overrightarrow{OD}\).

Мы знаем, что треугольник OAB является подобным треугольнику OCD, так как соответствующие углы равны (так как треугольник ABCD - трапеция). Также, мы знаем, что \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) - это радиус-векторы точек A и C соответственно.

Используя данные свойства, мы можем записать соотношение между сторонами исходной трапеции и треугольника OAB следующим образом:

\[\frac{{\overrightarrow{OA}}}{{\overrightarrow{OC}}} = \frac{{AB}}{{CD}} \]

С учетом этого соотношения, мы можем записать выражение для вектора \(\overrightarrow{OD}\) через векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\):

\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \frac{{AB}}{{CD}} \cdot \overrightarrow{OC}\)

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, нам нужно найти выражение для \(\frac{{AB}}{{CD}}\). Мы знаем, что в данной трапеции \(AD = 12BC\), поэтому отношение сторон будет следующим:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{\text{{основание AВ}}}}{{\text{{основание CD}}}} = \frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{12BC}}{{BC}} = 12\)

Теперь мы можем заменить \(\frac{{AB}}{{CD}}\) в формуле для вектора \(\overrightarrow{OD}\):

\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + 12 \cdot \overrightarrow{OC}\)

Вот и ответ! Вектор \(\overrightarrow{OD}\) можно записать как вектор \(\overrightarrow{OA}\) плюс 12 раз вектор \(\overrightarrow{OC}\).