Докажите, что значение выражения (a^2,5+a^1,5/1+a): 1-a^3/1-a^1,5 не изменяется при изменении значений переменной

Чтобы доказать, что значение данного выражения не изменяется при изменении значений переменной, нам необходимо преобразовать его и показать, что оно не зависит от значения переменной.

Давайте начнем с преобразования данного выражения. У нас есть выражение:

\(\frac{{a^{2.5} + \frac{{a^{1.5}}}{{1 + a}}}}{{1 - \frac{{a^3}}{{1 - a^{1.5}}}}}\)

Наша цель - упростить выражение и показать, что оно не зависит от значения переменной "a". Для этого докажем, что числитель и знаменатель выражения равны между собой.

Разберемся с числителем. Мы можем сложить два слагаемых:

\(a^{2.5} + \frac{{a^{1.5}}}{{1 + a}}\)

Для удобства, представим \(\frac{{a^{1.5}}}{{1 + a}}\) в виде:

\(\frac{{\sqrt{a}^3}}{{1 + a}}\)

Теперь мы можем выразить числитель следующим образом:

\(a^{2.5} + \frac{{\sqrt{a}^3}}{{1 + a}}\)

Теперь разберемся с знаменателем. Мы можем разложить его на два слагаемых:

\(1 - \frac{{a^3}}{{1 - a^{1.5}}}\)

Поделим числитель и знаменатель на \(\sqrt{a}\):

\(\frac{{a^{2.5} + \frac{{\sqrt{a}^3}}{{1 + a}}}}{{1 - \frac{{a^3}}{{1 - a^{1.5}}}}}\)

Теперь мы можем упростить выражение:

\(\frac{{\sqrt{a}^3 \cdot (1 - a^{1.5}) + a^{2.5} \cdot (1 + a)}}{{\sqrt{a}^3 \cdot (1 - a^{1.5}) - a^3 \cdot (1 + a)}}\)

Раскроем скобки:

\(\frac{{\sqrt{a}^3 - \sqrt{a}^4 + a^{2.5} + a^{2.5} \cdot a}}{{\sqrt{a}^3 - a^{1.5} \cdot \sqrt{a}^3 - a^3 - a^4}}\)

Упростим дальше:

\(\frac{{\sqrt{a}^3 + a^{2.5} + a^{3.5}}}{{\sqrt{a}^3 - a^{1.5} \cdot \sqrt{a}^3 - a^3 - a^4}}\)

Мы видим, что при упрощении числителя и знаменателя не осталось переменной "a". Поэтому мы можем сделать вывод, что значение данного выражения не изменяется при изменении значений переменной.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения \(\frac{{a^{2.5} + \frac{{a^{1.5}}}{{1 + a}}}}{{1 - \frac{{a^3}}{{1 - a^{1.5}}}}}\) не изменяется при изменении значений переменной "a".