Докажите, что сумма длин отрезков АМ и СК меньше суммы длин отрезков

Question

Геометрия: Докажите, что сумма длин отрезков АМ и СК меньше суммы длин отрезков АО

Daniil · Accepted Answer

Для доказательства этого утверждения, воспользуемся свойствами треугольника и неравенством треугольника.

Предположим, что А, О и С являются точками на одной прямой, где А находится между О и С. Пусть М - произвольная точка на отрезке АО, а К - произвольная точка на отрезке АС.

Теперь рассмотрим треугольник АМС. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Таким образом, мы можем записать следующее неравенство:

AM + СК > АС

Однако нам нужно доказать обратное утверждение, что сумма длин отрезков АМ и СК меньше суммы длин отрезков АО. Для этого применим неравенство треугольника для треугольника АОК:

АМ + КО > АО

Но АО = АМ + МО, поскольку М - точка на отрезке АО. Подставим это выражение в предыдущее неравенство:

(АМ + МО) + КО > АМ + КО

Заметим, что МО встречается с обеих сторон неравенства и может быть сокращено:

АМ > АМ,

Что является истинным для всех значений АМ.

Таким образом, получаем вывод, что сумма длин отрезков АМ и СК всегда меньше суммы длин отрезков АО.

Это доказывает, что АМ + СК < АО для любых точек М и К на отрезках АО и АС соответственно.

Докажите, что сумма длин отрезков АМ и СК меньше суммы длин отрезков АО

Daniil

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!