Докажите, что среди 100 спортсменов, не зависимо от того, каким образом им раздали стартовые номера, найдутся двое

Рассмотрим задачу о найденных знакомствах между спортсменами и номерах, начинающихся с одной цифры.

Для начала, посмотрим сколько возможных трехзначных номеров, которые могут быть разданы спортсменам. В данном случае, каждая цифра может принимать значения от 0 до 9. Таким образом, у нас имеется 10 возможных вариантов для первой цифры номера, 10 возможных вариантов для второй цифры номера и 10 возможных вариантов для третьей цифры номера. Используя принцип умножения, мы можем вычислить общее количество трехзначных номеров:

\(10 \times 10 \times 10 = 1000\) (уникальных номеров).

Теперь мы можем провести рассуждение по принципау Дирихле. У нас имеется 100 спортсменов и 1000 возможных номеров, возможно ли, что у каждого спортсмена будет уникальный номер, не повторяющийся у других спортсменов?

Предположим, что каждому спортсмену был выдан уникальный номер, начинающийся с одной цифры. Это значит, что для каждой первой цифры номера (которых всего 10) у нас должен быть по одному спортсмену. Но так как у нас есть 100 спортсменов, у каждого спортсмена должны быть несколько номеров с одной и той же первой цифрой.

Возьмем двух спортсменов и рассмотрим все возможные пары номеров, которые им могли быть выданы. Как бы мы ни выбрали двух спортсменов, можно заметить, что первая цифра их номеров совпадает.

Если мы предположим, что каждый из 100 спортсменов имеет уникальный номер с уникальной первой цифрой, у нас всего 10 возможных первых цифр. Но при этом у нас есть 100 спортсменов, то по принципу Дирихле обязательно найдутся двое спортсменов с номерами, начинающимися с одной цифры.

Из этого рассуждения следует, что независимо от того, каким образом спортсменам были выданы номера, найдутся двое знакомых между собой, у которых номера начинаются с одной цифры.

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.