Докажите, что результат выражения (1000^2 + 1000^2•1001^2 + 1001^2) является квадратом некоторого положительного числа

Добро пожаловать! Рассмотрим данное выражение \(1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2\). Давайте разберем его пошагово.

1. Сначала упростим первую и последнюю часть выражения. Возведем \(1000^2\) и \(1001^2\) в квадрат:

\(1000^2 = 1000 \cdot 1000 = 1,000,000\) (1)

\(1001^2 = 1001 \cdot 1001 = 1,002,001\) (2)

2. Теперь вычислим среднюю часть, \(1000^2 \cdot 1001^2\). Умножение двух чисел можно представить как перемножение с помощью "контрольной суммы". Разложим оба числа на множители:

\(1000^2\) разлагается на \(1000 \cdot 1000\) (3)

\(1001^2\) разлагается на \(1001 \cdot 1001\) (4)

Теперь перемножим множители:

\(1000 \cdot 1000 \cdot 1001 \cdot 1001\) (5)

3. Далее, применим свойство ассоциативности умножения. Мы можем переместить скобки так, чтобы было проще выполнить вычисление:

\((1000 \cdot 1001) \cdot (1000 \cdot 1001)\) (6)

4. Теперь рассчитаем каждое умножение отдельно:

\(1000 \cdot 1001 = 1,001,000\) (7)

\(1000 \cdot 1001 = 1,001,000\) (8)

5. И, наконец, перемножим результаты:

\(1,001,000 \cdot 1,001,000 = 1,002,001,000,000\) (9)

Таким образом, общий результат данного выражения равен:

\(1,000,000 + 1,002,001,000,000 + 1,002,001 = 1,002,002,002,001\)

Можем заметить, что данное число является квадратом некоторого положительного числа. В частности, можно заметить, что оно равно квадрату числа 1,001,001:

\(1,001,001^2 = 1,002,002,002,001\)

Таким образом, мы доказали, что результат выражения \(1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2\) является квадратом некоторого положительного числа.