Докажите, что последовательность возрастает: an=13n/n+1. ответ: 1. Докажите, что a1> a2> a3> ...> an> an+1>

Для доказательства возрастания последовательности \(a_n = \frac{{13n}}{{n+1}}\) мы должны показать, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего.

Давайте рассмотрим два соседних члена последовательности: \(a_n\) и \(a_{n+1}\). Чтобы сравнить их, вычислим каждый из них по отдельности.

Для \(a_n\) мы можем подставить \(n\) в формулу: \(a_n = \frac{{13n}}{{n+1}}\).

Теперь рассмотрим \(a_{n+1}\). Подставим \(n+1\) вместо \(n\): \(a_{n+1} = \frac{{13(n+1)}}{{(n+1)+1}}\).

Чтобы доказать, что последовательность возрастает, мы должны доказать, что \(a_{n+1}\) больше \(a_n\). Для этого сравним значения \(a_{n+1}\) и \(a_n\) и упростим неравенство.

\[a_{n+1} > a_n\]
\[ \frac{{13(n+1)}}{{(n+1)+1}} > \frac{{13n}}{{n+1}}\]

Чтобы упростить это неравенство, умножим обе стороны на \((n+1)(n+2)\). Обратите внимание, что это положительное число, поэтому неравенство сохраняется.

\[13(n+1) > 13n(n+2)\]

Упростим выражение слева и справа.

\[13n + 13 > 13n^2 + 26n\]
\[13 > 13n^2 + 13n\]

Теперь перенесем все в одну сторону и упростим.

\[0 > 13n^2 + 13n - 13\]

Данный квадратный трехчлен \(13n^2 + 13n - 13\) является квадратным трехчленом со всеми положительными коэффициентами, и его дискриминант \(D\) равен:

\[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4(13)(-13) = 169 + 676 = 845 > 0\]

Поскольку дискриминант положителен, это означает, что данный квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Следовательно, неравенство \(13n^2 + 13n - 13 > 0\) выполняется для всех значений \(n\), что доказывает, что последовательность \(a_n = \frac{{13n}}{{n+1}}\) является возрастающей.