Докажите, что медиана, идущая от вершины b до середины основания трапеции abcd, равна отрезку, соединяющему середины

Чтобы доказать эту теорему, мы воспользуемся свойствами медианы и треугольника.

Предположим, что трапеция ABCD имеет вершины A, B, C и D, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Пусть E и F - середины оснований AB и CD соответственно. Мы хотим доказать, что медиана, идущая от вершины B, проходит через середину отрезка EF.

1. Первый шаг: Покажем, что прямые BE и DF пересекаются в середине боковой стороны AD.

Используя свойство медианы треугольника, можем сказать, что точка G - точка пересечения медианы BE с боковой стороной AD, делит ее на две равные части. Аналогично, точка H - точка пересечения медианы DF с боковой стороной AD, делит ее на две равные части.

2. Второй шаг: Покажем, что прямые BE и DF пересекаются в одной точке.

Предположим, что прямые BE и DF пересекаются в точке K (см. Фигура 1).

\[Figure 1\]

Возьмем точку G, лежащую на боковой стороне AD между точками K и D (см. Фигура 2).

\[Figure 2\]

Поскольку медиана BE делит боковую сторону AD пополам, то AG = GD.

Рассмотрим треугольник BKG. Прямая BE является медианой в этом треугольнике.

Из свойств медианы треугольника следует, что AG = GD = KG, а это означает, что точка K лежит на медиане BE.

Аналогично, можно показать, что точка K лежит и на медиане DF. Таким образом, прямые BE и DF пересекаются в точке K.

3. Третий шаг: Докажем, что медиана, идущая от вершины B, проходит через середину отрезка EF.

Мы уже показали, что прямые BE и DF пересекаются в одной точке K.

Теперь рассмотрим треугольник BEF. Прямая BK, как мы только что выяснили, является медианой в этом треугольнике.

Согласно свойствам медианы, медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Таким образом, окажется, что точка K, лежащая на медиане BK, также делит сторону EF пополам. Но точка, делящая сторону пополам, называется ее серединой. Поэтому, точка K является серединой отрезка EF.

Мы доказали, что медиана, идущая от вершины B до середины основания трапеции ABCD, равна отрезку, соединяющему середины оснований трапеции ACEF.
Таким образом, теорема доказана.