Докажите, что если диагональ параллелограмма делится на три равные части, то полученные точки деления и две другие

Конечно! Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB и CD являются его сторонами, а AC и BD - диагоналями. Предположим, что диагональ AC делится на три равные части точками E и F.

Так как AC делится на три равные части, то мы можем сказать, что AE = EF = FC. Теперь рассмотрим отрезки AD и BC. Поскольку AB и CD - стороны параллелограмма, то AD || BC. Также, по свойству параллельных линий, мы можем сказать, что AD || CF и BC || AF.

Теперь посмотрим на треугольники ACF и BFD. У нас есть следующие равенства сторон: AF = FC (из условия), AD || CF (из свойства параллельных линий). Следовательно, по признаку равных сторон эти треугольники равнобедренные.

Теперь давайте рассмотрим углы этих треугольников. Угол ACF и угол BFD - вертикальные углы, значит, они равны.

Мы пришли к выводу, что треугольники ACF и BFD являются равнобедренными и имеют равные углы. И по свойству параллелограмма мы знаем, что параллелограммы с равными боковыми сторонами и параллельными базами гомотетичны. Значит, параллелограмм ABCD и параллелограмм AFCE это гомотетичные фигуры.

Чтобы доказать, что вершины параллелограмма AFCE образуют параллелограмм, нам осталось доказать, что у параллелограммов AFCE и ABCD соответствующие стороны пропорциональны.

Мы можем заметить, что стороны AF и CD являются диагоналями и имеют общую точку F, а также общую точку A на стороне AB параллелограмма ABCD. Вспомним, что мы доказали, что треугольники ACF и BFD равнобедренные, значит, углы AFC и BFD равны. По свойству параллельных линий мы можем сказать, что DB || AF. Таким образом, у нас есть пара соответствующих сторон параллелограммов ABCD и AFCE, которые соединены общими вершинами.

Мы доказали, что стороны параллелограмма ABCD и параллелограмма AFCE пропорциональны. А также мы знаем, что эти параллелограммы гомотетичны. Следовательно, вершины параллелограмма AFCE и две другие вершины ABCD (вершины B и D) образуют параллелограмм.

Таким образом, данное утверждение доказано.