Какова площадь боковой поверхности у правильной треугольной усечённой пирамиды со сторонами оснований, равными 6

Конечно, я помогу вам решить эту задачу. Давайте начнем с построения усеченной пирамиды и разберемся с ее основными элементами.

У нас есть правильная треугольная усеченная пирамида со сторонами оснований, равными 6 и 8 см, и боковыми гранями, наклоненными к плоскости под углом 60°.

Для начала, давайте определим высоту усеченной пирамиды. Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания и проходит через ее вершину. Так как пирамида правильная, высота будет совпадать с высотой пирамидального сегмента.

Пирамидальный сегмент - это часть пирамиды, образованная плоскостью, параллельной основанию, и пересекающая все ее боковые грани. В нашем случае, пирамидальный сегмент будет отделен от оригинальной пирамиды срезом, параллельным основанию и находящимся на расстоянии \(h\) от вершины.

Чтобы найти \(h\), можно построить высоту правильного треугольника на одном из оснований пирамиды. Так как у нас есть угол наклона боковых граней к плоскости, мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника, где боковая сторона равна половине основания (так как она делится пополам перпендикуляром к основанию).

Теперь, воздвигните перпендикуляр из вершины правильного треугольника к основанию. Он разделит основание на две равные части, каждая из которых будет равна \(4\) см.

Таким образом, мы получаем равнобедренный треугольник с основанием \(4\) см, высотой \(h\) и углом в основании \(60^{\circ}\). В этом треугольнике мы можем использовать тригонометрические отношения. Нам нужно найти \(h\), поэтому воспользуемся тангенсом:

\[\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{4}\]

Решая уравнение, мы получим значение \(h = 4\sqrt{3}\) см.

Теперь у нас есть высота усеченной пирамиды. Для нахождения площади ее боковой поверхности, нам понадобятся боковые грани.

Усеченная пирамида имеет пять граней: два основания и три боковые грани. Боковые грани выглядят как равнобедренные треугольники со сторонами, равными 6 см, 8 см и высотой \(h\).

Чтобы найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, нужно найти площадь трех боковых граней и их сложить.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2}bh\), где \(b\) - основание треугольника, а \(h\) - высота треугольника. В нашем случае, \(b\) равно 8 см, а \(h\) равно \(4\sqrt{3}\) см.

Теперь, найдем площадь одной боковой грани:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Так как имеется три одинаковых боковых грани, умножим эту площадь на 3:

\[S_{\text{боков.}} = 3 \times 16\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды составляет \(48\sqrt{3} \, \text{см}^2\).

Надеюсь, что это решение поможет вам понять задачу и получить правильный ответ. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!