Докажите, что если число m является медианой числового ряда, то: а) сумма частот чисел ряда, не превышающих 0,5

доля всех чисел в ряду, равна 0,5.

Для начала, разберемся с определением медианы числового ряда. Медиана - это значение, которое разделяет ряд данных на две равные половины. Если у нас есть $n$ чисел в ряду, то медиана будет находиться на позиции $\frac{n+1}{2}$.

Предположим, что число $m$ является медианой числового ряда. Это означает, что у нас есть ровно $\frac{n+1}{2}$ чисел в ряду, которые меньше или равны $m$, и также ровно $\frac{n+1}{2}$ чисел, которые больше или равны $m$. Общее количество чисел в ряду ($n$) равно сумме этих двух половин.

Итак, рассмотрим часть а) задачи. Нам нужно доказать, что сумма частот чисел ряда, не превышающих $m$, равна 0,5. Предположим, что для каждого числа в ряду есть определенная частота (количество раз, которое оно встречается). Пусть $k$ будет количеством чисел ряда, которые не превышают $m$. Тогда сумма частот этих чисел будет равна $k$.

Так как медиана $m$ разделяет ряд на две равные половины, то сумма частот чисел, которые не превышают $m$, равна сумме частот чисел, которые больше или равны $m$. Давайте обозначим количество чисел, которые больше или равны $m$, как $j$. Тогда сумма частот этих чисел также будет $j$.

Теперь вернемся к общему количеству чисел в ряду ($n$). Мы знаем, что общее количество чисел ($n$) равно $k+j$.

Так как медиана разделяет ряд на две равные половины, то сумма частот чисел, которые не превышают $m$, равна сумме частот чисел, которые больше или равны $m$. Исходя из этого, мы можем записать следующее равенство:

$$k=j$$

Теперь мы можем объединить это с предыдущим равенством $k+j=n$, чтобы получить:

$$2k=n$$

Таким образом, мы можем заключить, что сумма частот чисел ряда, не превышающих $m$, равна $\frac{n}{2}$.

Перейдем к части б) задачи. Нам нужно доказать, что сумма частот чисел ряда, не менее $m$, равна доле всех чисел в ряду, равной 0,5. Если все числа в ряду больше или равны $m$, то сумма их частот будет равна общему количеству чисел в ряду ($n$). Из предыдущего равенства $2k=n$ мы можем заметить, что сумма частот чисел также равна $n$.

Таким образом, сумма частот чисел ряда, не менее $m$, равна доле всех чисел в ряду, которая равна $\frac{n}{n}=1$.

Вывод: Если число $m$ является медианой числового ряда, то сумма частот чисел ряда, не превышающих $m$, равна $\frac{n}{2}$, а сумма частот чисел ряда, не менее $m$, равна 1. Это подтверждает утверждение в теореме.