Докажите, что если число m является медианой числового ряда, то: а) сумма частот чисел ряда, не превышающих 0,5

доля всех чисел в ряду, равна 0,5.

Для начала, разберемся с определением медианы числового ряда. Медиана - это значение, которое разделяет ряд данных на две равные половины. Если у нас есть \(n\) чисел в ряду, то медиана будет находиться на позиции \(\frac{n+1}{2}\).

Предположим, что число \(m\) является медианой числового ряда. Это означает, что у нас есть ровно \(\frac{n+1}{2}\) чисел в ряду, которые меньше или равны \(m\), и также ровно \(\frac{n+1}{2}\) чисел, которые больше или равны \(m\). Общее количество чисел в ряду (\(n\)) равно сумме этих двух половин.

Итак, рассмотрим часть а) задачи. Нам нужно доказать, что сумма частот чисел ряда, не превышающих \(m\), равна 0,5. Предположим, что для каждого числа в ряду есть определенная частота (количество раз, которое оно встречается). Пусть \(k\) будет количеством чисел ряда, которые не превышают \(m\). Тогда сумма частот этих чисел будет равна \(k\).

Так как медиана \(m\) разделяет ряд на две равные половины, то сумма частот чисел, которые не превышают \(m\), равна сумме частот чисел, которые больше или равны \(m\). Давайте обозначим количество чисел, которые больше или равны \(m\), как \(j\). Тогда сумма частот этих чисел также будет \(j\).

Теперь вернемся к общему количеству чисел в ряду (\(n\)). Мы знаем, что общее количество чисел (\(n\)) равно \(k + j\).

Так как медиана разделяет ряд на две равные половины, то сумма частот чисел, которые не превышают \(m\), равна сумме частот чисел, которые больше или равны \(m\). Исходя из этого, мы можем записать следующее равенство:

\[k = j\]

Теперь мы можем объединить это с предыдущим равенством \(k + j = n\), чтобы получить:

\[2k = n\]

Таким образом, мы можем заключить, что сумма частот чисел ряда, не превышающих \(m\), равна \(\frac{n}{2}\).

Перейдем к части б) задачи. Нам нужно доказать, что сумма частот чисел ряда, не менее \(m\), равна доле всех чисел в ряду, равной 0,5. Если все числа в ряду больше или равны \(m\), то сумма их частот будет равна общему количеству чисел в ряду (\(n\)). Из предыдущего равенства \(2k = n\) мы можем заметить, что сумма частот чисел также равна \(n\).

Таким образом, сумма частот чисел ряда, не менее \(m\), равна доле всех чисел в ряду, которая равна \(\frac{n}{n} = 1\).

Вывод: Если число \(m\) является медианой числового ряда, то сумма частот чисел ряда, не превышающих \(m\), равна \(\frac{n}{2}\), а сумма частот чисел ряда, не менее \(m\), равна 1. Это подтверждает утверждение в теореме.