Докажите, что для произвольного клетчатого квадрата без одной клетки можно создать разделение на клетчатые уголки

Для решения этой задачи давайте воспользуемся индукцией.

Шаг 1: Базовый случай
Рассмотрим квадрат размером 1×1. В нем содержится только одна клетка, и такой квадрат уже является уголком с единственной клеткой.

Шаг 2: Предположение индукции
Допустим, что утверждение верно для квадратов размером (n-1)×(n-1), где n - нечетное число.

Шаг 3: Индукционный переход
Рассмотрим квадрат размером n×n, где n - нечетное число, и удалим центральную клетку. Получим квадрат размером (n-1)×(n-1).

По предположению индукции, мы можем разделить этот квадрат на клетчатые уголки, каждый из которых имеет уникальное нечетное количество клеток.

Теперь рассмотрим квадрат n×n, который мы изначально удалили центральную клетку. Если мы восстановим центральную клетку, то каждый уголок из предыдущего разделения останется уголком, поскольку мы добавили только одну клетку.

Возможно два варианта размещения центральной клетки:

1) Центральная клетка принадлежит одному из уголков. Тогда количество клеток в этом уголке останется нечетным, и мы получим новый раздел уголков с уникальными нечетными количествами клеток.

2) Центральная клетка не принадлежит ни одному из уголков, а находится между ними. Тогда мы можем объединить два уголка рядом с центральной клеткой и получить новый уголок с нечетным количеством клеток.

Таким образом, каждый вариант размещения центральной клетки дает новый уголок с нечетным количеством клеток.

Итак, мы показали, что для квадрата размером 5×5 с отсутствующей центральной клеткой мы можем создать разделение на клетчатые уголки, каждый из которых имеет уникальное нечетное количество клеток.

Ответ: количество таких разделений - 2.