Какое приближенное значение приращения функции y=3x^2+5x+1 можно вычислить, если заданы значения x=3; ∆x=0,01?

Для того чтобы вычислить приближенное значение приращения функции \(y=3x^2+5x+1\) при значениях \(x=3\) и \(\Delta x=0,01\), мы можем использовать формулу приращений:

\[
\Delta y = \frac{{dy}}{{dx}} \cdot \Delta x
\]

Сначала найдем производную функции \(y\) по \(x\). Производная показывает, как быстро меняется значение функции при изменении переменной. Для функции \(y=3x^2+5x+1\) мы можем найти производную следующим образом:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (3x^2+5x+1)
\]

Для вычисления производной функции, нам нужно применить правила дифференцирования. Производная полинома будет равна сумме производных каждого отдельного слагаемого. Производную \(3x^2\) можно вычислить, используя правило степенной функции \(d(x^n)/dx = nx^{n-1}\). Производная \(5x\) будет просто равна константе 5, так как \(x\) является переменной первой степени. И, наконец, производная константы 1 будет равна нулю, так как константа не зависит от переменной \(x\).

Итак, вычислим производную функции \(y\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (3x^2+5x+1) = \frac{{d}}{{dx}}(3x^2) + \frac{{d}}{{dx}}(5x) + \frac{{d}}{{dx}}(1) \\
= 3 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x^2) + 5 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x) + \frac{{d}}{{dx}}(1) \\
= 3 \cdot 2x + 5 \cdot 1 + 0 \\
= 6x + 5
\]

Теперь, зная производную функции, мы можем вычислить приращение \(\Delta y\) при значениях \(x=3\) и \(\Delta x=0,01\), подставив их в формулу:

\[
\Delta y = (6x + 5) \cdot \Delta x
\]

\[
\Delta y = (6 \cdot 3 + 5) \cdot 0,01
\]

\[
\Delta y = 18,05 \cdot 0,01
\]

\[
\Delta y = 0,1805
\]

Таким образом, приближенное значение приращения функции \(y=3x^2+5x+1\) при значениях \(x=3\) и \(\Delta x=0,01\) примерно равно 0,1805.