Какие тройки действительных чисел являются решениями следующей системы уравнений: x^2+y+z=1, x+y^2+z=1 и x+y+z^2=1?

Давайте решим данную систему уравнений шаг за шагом.

Исходная система уравнений имеет вид:
\[
\begin{align*}
x^2 + y + z &= 1 \\
x + y^2 + z &= 1 \\
x + y + z^2 &= 1
\end{align*}
\]

Для начала, так как у нас три уравнения с тремя неизвестными, разумно предположить, что решение данной системы будет состоять из трех действительных чисел - \(x\), \(y\) и \(z\).

Далее, мы можем использовать метод подстановки для решения системы. Давайте решим первое уравнение относительно \(z\):
\(z = 1 - x^2 - y\).

Теперь подставим выражение для \(z\) в оставшиеся два уравнения системы:
\[
\begin{align*}
x + y^2 + (1 - x^2 - y) &= 1 \\
x + y + ((1 - x^2 - y)^2 &= 1
\end{align*}
\]

Разложим квадрат во втором уравнении:
\[
x + y + (1 - 2x^2 + x^4 - 2y + 2xy^2 - 2xy) = 1
\]

Упростим это уравнение:
\[
x + y + 1 - 2x^2 + x^4 - 2y + 2xy^2 - 2xy = 1
\]

Мы видим, что все слагаемые равны 1, за исключением слагаемых, содержащих \(x\), \(y\) и их степени.

Теперь сгруппируем эти слагаемые:
\[
(1 - 2x^2) + (2xy^2 - 2y) + (x^4 + xy - x + y - 1) = 0
\]

Раскроем скобки в слагаемом \(x^4 + xy - x + y - 1\):
\[
x^4 + xy - x + y - 1 = x^4 - x + xy + y - 1
\]

Теперь сгруппируем слагаемые:
\[
x^4 - x + xy + y - 1 + (1 - 2x^2) + (2xy^2 - 2y) = 0
\]

Совершим несколько преобразований:
\[
\begin{align*}
x^4 - x + xy + y - 1 + 1 - 2x^2 + 2xy^2 - 2y &= 0 \\
x^4 - 2x^2 + x + 2xy^2 + xy + y - y &= 0 \\
x^4 - 2x^2 + x + 2xy^2 + xy &= 0
\end{align*}
\]

Теперь факторизуем это уравнение:
\[
x(x^2 - 2) + xy(2y + 1) + 2y^2 = 0
\]

Мы видим, что данное уравнение является суммой трех слагаемых, которые должны обращаться в ноль.

Теперь рассмотрим каждое слагаемое отдельно и посмотрим, при каких значениях переменных оно будет равно нулю.

Первое слагаемое \(x(x^2 - 2)\) обращается в ноль при \(x = 0\) или \(x^2 - 2 = 0\).

Уравнение \(x^2 - 2 = 0\) имеет два корня: \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).

Второе слагаемое \(xy(2y + 1)\) обращается в ноль, если одно из слагаемых \(x\), \(y\) равно нулю или \(2y + 1 = 0\).

Из уравнения \(2y + 1 = 0\) получаем значение \(y = -\frac{1}{2}\).

Теперь рассмотрим третье слагаемое \(2y^2\). Оно обращается в ноль, когда \(y = 0\).

Таким образом, мы получили несколько троек действительных чисел, являющихся решениями данной системы уравнений:

1) \((0, 0, 0)\)
2) \((\sqrt{2}, -\frac{1}{2}, 0)\)
3) \((- \sqrt{2}, -\frac{1}{2}, 0)\)

Итак, тройки действительных чисел \((0, 0, 0)\), \((\sqrt{2}, -\frac{1}{2}, 0)\) и \((- \sqrt{2}, -\frac{1}{2}, 0)\) являются решениями данной системы уравнений.