Сколько клеток было закрашено после проведения диагонали в прямоугольнике размером 2019x2020 и окрашивании всех клеток

Для решения данной задачи, нам необходимо определить, сколько клеток в прямоугольнике было закрашено после проведения диагонали.

Дано, что размер прямоугольника составляет 2019x2020 клеток. Чтобы вычислить количество закрашенных клеток, необходимо понять, как диагональ пересекает клетки прямоугольника.

Диагональ прямоугольника соединяет противоположные углы и делит прямоугольник на две равные части. В данном случае, диагональ будет соединять верхний левый угол с нижним правым углом прямоугольника, как показано ниже:

\[
\begin{array}{ccccccccccccc}
& \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \\
& \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \\
& \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \\
& \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \\
& \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \\
& \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \\
& \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \\
& \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \\
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & & & & \quad & \quad & \quad \\
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & & & & \quad & \quad & \quad \\
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & & & & \quad & \quad & \quad \\
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & & & & \quad & \quad & \quad \\
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & & & & \quad & \quad & \quad \\
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & & & & \quad & \quad & \quad \\
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\end{array}
\]

Чтобы определить количество закрашенных клеток, необходимо вычислить количество клеток, которые пересекает данная диагональ.

Для того чтобы найти это количество, можно воспользоваться формулой нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, известной как алгоритм Евклида. В данном случае, мы сможем использовать НОД чисел 2019 и 2020, чтобы определить количество пересечений диагонали с клетками.

Алгоритм Евклида гласит следующее:

1. Вычислите остаток от деления большего числа на меньшее число.
2. Замените большее число на меньшее число и остаток от деления.
3. Если остаток от деления равен нулю, возвращаем меньшее число в качестве НОД.
4. Если остаток от деления не равен нулю, повторите шаги 1-3.

Применяя данный алгоритм к числам 2019 и 2020, мы получим:

\[
\begin{align*}
2020 & = 2019 \cdot 1 + 1 \\
2019 & = 1 \cdot 2019 + 0 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, по алгоритму Евклида получаем, что НОД(2019, 2020) = 1.

Теперь, чтобы вычислить количество пересечений диагонали с клетками, необходимо взять НОД(2019, 2020) и прибавить 1.

Следовательно, количество закрашенных клеток в прямоугольнике размером 2019x2020 после проведения диагонали будет равно 1 + 1 = 2.

Таким образом, после проведения диагонали в прямоугольнике размером 2019x2020 и окрашивания всех клеток, которые пересекает эта диагональ, будет закрашено 2 клетки.