Докажите, что для любого натурального числа N выражение (11N - 1)^2 - (5N + 1)^2 является кратным целому числу

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции
Для N = 1, у нас имеем выражение (11*1 - 1)^2 - (5*1 + 1)^2 = (10)^2 - (6)^2 = 100 - 36 = 64. Ясно, что 64 делится нацело на 8, так как оно представимо в виде произведения 8 и 8.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа k:

(11k - 1)^2 - (5k + 1)^2 = m * 8, где m - целое число.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что утверждение верно для k + 1:

(11(k+1) - 1)^2 - (5(k+1) + 1)^2 = [11(k+1) - 1]^2 - [5(k+1) + 1]^2

= [(11k + 11) - 1]^2 - [(5k + 5) + 1]^2

= [(11k + 10) + 1]^2 - [(5k + 4) + 1]^2

= (11k + 10 + 1)^2 - (5k + 4 + 1)^2

= (11k + 11)^2 - (5k + 5)^2

= [(11k - 1) + 12]^2 - [(5k + 1) + 4]^2

= (11k - 1)^2 + 2*(11k - 1)*12 + 12^2 - (5k + 1)^2 - 2*(5k + 1)*4 - 4^2

= (11k - 1)^2 - (5k + 1)^2 + 2*(11k - 1)*12 - 2*(5k + 1)*4 + 12^2 - 4^2

= (11k - 1)^2 - (5k + 1)^2 + 24*(11k - 1) - 8*(5k + 1) + 144 - 16

= (11k - 1)^2 - (5k + 1)^2 + 8[3*(11k -1) - 4*(5k + 1) + 14]

Здесь мы заметим, что в последнем выражении первое слагаемое (11k - 1)^2 - (5k + 1)^2 является кратным 8 по предположению индукции, и остается доказать, что второе слагаемое также кратно 8.

Мы можем заметить, что 3*(11k -1) - 4*(5k + 1) + 14 = 33k - 3 - 20k - 4 + 14 = 13k + 7, так как константы -3, -4 и 14 являются кратными 8.

Таким образом, мы имеем:

(11k - 1)^2 - (5k + 1)^2 = (11k - 1)^2 - (5k + 1)^2 + 8[3*(11k -1) - 4*(5k + 1) + 14]

Из данного равенства очевидно следует, что выражение (11(k+1) - 1)^2 - (5(k+1) + 1)^2 также кратно 8.

Таким образом, справедливость утверждения доказана для любого натурального числа N.