Сколько вариантов башен из кубиков вы можете построить из 8 этажей, если на каждом этаже может быть либо столько

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать метод динамического программирования. Давайте рассмотрим пошаговое решение.

1. Создаем массив dp размером 9 (от 0 до 8), где dp[i] будет содержать количество возможных вариантов башен высотой i.
2. Инициализируем dp[0] и dp[1] равными 1, так как возможно построить башни высотой 0 и 1 только одним способом.
3. Начинаем цикл с i равным 2 и продолжаем до 8.
4. Для каждого i, мы можем построить башню, имеющую высоту i, либо добавив на последний этаж один кубик, либо два кубика и так далее, пока мы не превысим i. Для каждого количества добавленных кубиков мы учтем количество вариантов башен предыдущей высоты.
5. Записываем сумму вариантов для каждой высоты i в dp[i].
6. По завершении цикла результат будет содержаться в dp[8].

Опишем это решение более формально:

1. Инициализируем массив dp размером 9 со всеми элементами, равными 0.
2. Записываем dp[0] = dp[1] = 1.
3. Выполняем цикл от i = 2 до 8.
4. Для каждого j от 0 до i - 1:
5. Увеличиваем dp[i] на dp[j].
6. Возвращаем dp[8] как итоговый ответ.

Таким образом, количество возможных вариантов башен высотой 8, удовлетворяющих условию задачи, равно dp[8]. Чтобы найти точное значение, можно выполнить вычисления:

\[dp[0] = 1\]
\[dp[1] = 1\]
\[dp[2] = dp[0] + dp[1] = 1 + 1 = 2\]
\[dp[3] = dp[0] + dp[1] + dp[2] = 1 + 1 + 2 = 4\]
\[dp[4] = dp[0] + dp[1] + dp[2] + dp[3] = 1 + 1 + 2 + 4 = 8\]
\[dp[5] = dp[0] + dp[1] + dp[2] + dp[3] + dp[4] = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 = 16\]
\[dp[6] = dp[0] + dp[1] + dp[2] + dp[3] + dp[4] + dp[5] = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 32\]
\[dp[7] = dp[0] + dp[1] + dp[2] + dp[3] + dp[4] + dp[5] + dp[6] = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64\]
\[dp[8] = dp[0] + dp[1] + dp[2] + dp[3] + dp[4] + dp[5] + dp[6] + dp[7] = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 128\]

Итак, существует 128 различных вариантов башен высотой 8, удовлетворяющих заданным условиям.