Докажите, что четырехугольник abcd-параллелограмм и определите центр его симметрии, если координаты точек а(-2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны друг другу. Давайте посмотрим на это пошагово.

1. Найдем векторы AB и DC. Для этого вычтем координаты точки A из координат точки B и точки C из точки D:
\[ \overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-5 - (-2); -6 - (-4); -1 - 1) = (-3; -2; -2) \]
\[ \overrightarrow{DC} = \vec{C} - \vec{D} = (4 - 7; 10 - 10; 3 - 3) = (-3; 0; 0) \]

2. Проверим, что векторы AB и DC параллельны. Для этого умножим вектор DC на коэффициент и посмотрим, совпадают ли полученные результаты. Умножим вектор DC на -1:
\[ -\overrightarrow{DC} = -1 \cdot (-3; 0; 0) = (3; 0; 0) \]

Как видите, вектор AB и -вектор DC имеют одинаковые коэффициенты при каждой из координат, что означает их параллельность.

3. Теперь найдем векторы BC и AD, чтобы проверить, что и они параллельны:
\[ \overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (4 - (-5); 10 - (-6); 3 - (-1)) = (9; 16; 4) \]
\[ \overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (7 - (-2); 14 - (-4); 0 - 1) = (9; 18; -1) \]

4. Проверим, что векторы BC и AD параллельны. Умножим вектор BC на коэффициент и посмотрим, совпадают ли полученные результаты. Умножим вектор BC на -1:
\[ -\overrightarrow{BC} = -1 \cdot (9; 16; 4) = (-9; -16; -4) \]

Как видите, вектор AD и -вектор BC также имеют одинаковые коэффициенты при каждой из координат, что означает их параллельность.

5. Векторы AB и DC, а также векторы BC и AD, параллельны и равны друг другу. Это означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь, чтобы найти центр симметрии четырехугольника ABCD, давайте найдем среднюю точку между двумя противоположными вершинами.

Средняя точка между точками A и C:
\[ \left(\frac{{-2 + 4}}{2}; \frac{{-4 + 10}}{2}; \frac{{1 + 3}}{2}\right) = (1; 3; 2) \]

Средняя точка между точками B и D:
\[ \left(\frac{{-5 + 7}}{2}; \frac{{-6 + 14}}{2}; \frac{{-1 + 0}}{2}\right) = (1; 4; -0.5) \]

Обратите внимание, что получили две разные точки. Таким образом, четырехугольник ABCD не имеет центра симметрии.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, но не имеет центра симметрии.