Докажите, что четвёртые стороны двух выпуклых четырёхугольников тоже равны, если у них соответственно равны три стороны

Рассмотрим два выпуклых четырёхугольника, у которых соответственно равны три стороны и два угла между этими сторонами.

Обозначим данные четырёхугольники как ABCD и PQRS, где AB = PQ, BC = QR, CD = RS, а углы BAC и QPS равны.

Для доказательства того, что четвертые стороны данных четырёхугольников также равны, нам необходимо обратиться к некоторым геометрическим свойствам и теоремам.

1. Во-первых, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC, чтобы найти длину стороны AC. Вспомним, что для треугольника с сторонами a, b и c и соответствующим углом C между сторонами b и c, теорема косинусов утверждает, что:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

Применяя это к треугольнику ABC, имеем:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$$

2. Аналогично, для треугольника PQS, можно использовать теорему косинусов, чтобы найти длину стороны PS:
$$P{S}^2=P{Q}^2+Q{S}^2-2\cdot PQ\cdot QS\cdot \cos (\mathrm{\angle }QPS)$$

3. Так как нам известно, что AB = PQ, BC = QR и углы BAC и QPS равны, мы можем заменить значения в формулах:
$$A{C}^2=P{Q}^2+Q{R}^2-2\cdot PQ\cdot QR\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$$
$$P{S}^2=P{Q}^2+Q{S}^2-2\cdot PQ\cdot QS\cdot \cos (\mathrm{\angle }QPS)$$

4. Теперь, сравнивая формулы для AC^2 и PS^2, мы видим, что они имеют одинаковые слагаемые, за исключением одного:
$$A{C}^2-P{Q}^2=Q{R}^2-Q{S}^2-2\cdot PQ\cdot (QR\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)-QS\cdot \cos (\mathrm{\angle }QPS))$$

5. Далее, заметим, что по условию, у нас два равных угла: $\mathrm{\angle }BAC$ и $\mathrm{\angle }QPS$, значит $\cos (\mathrm{\angle }BAC)=\cos (\mathrm{\angle }QPS)$.

6. Из предыдущего уравнения получаем:
$$A{C}^2-P{Q}^2=Q{R}^2-Q{S}^2-2\cdot PQ\cdot (QR-QS)\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$$

7. Так как у нас также есть равенство сторон BC = QR и CD = RS, можем записать:
$$QR-QS=BC-RS$$

8. Замечаем, что BC - RS может быть заменено:
$$QR-QS=BC-RS=BC-CD=BD$$

9. Подставляя значение в предыдущее уравнение, получаем:
$$A{C}^2-P{Q}^2=Q{R}^2-Q{S}^2-2\cdot PQ\cdot BD\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$$

10. Теперь, если мы возьмём квадратный корень от обеих частей уравнения, получаем:
$$AC-PQ=QR-QS$$

11. Таким образом, мы доказали, что длины четвертых сторон AC и PS равны.

Таким образом, при данных условиях, стороны ABCD и PQRS будут равными, включая четвертые стороны AC и PS.