Докажите, что четвёртые стороны двух выпуклых четырёхугольников тоже равны, если у них соответственно равны три стороны

Рассмотрим два выпуклых четырёхугольника, у которых соответственно равны три стороны и два угла между этими сторонами.

Обозначим данные четырёхугольники как ABCD и PQRS, где AB = PQ, BC = QR, CD = RS, а углы BAC и QPS равны.

Для доказательства того, что четвертые стороны данных четырёхугольников также равны, нам необходимо обратиться к некоторым геометрическим свойствам и теоремам.

1. Во-первых, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC, чтобы найти длину стороны AC. Вспомним, что для треугольника с сторонами a, b и c и соответствующим углом C между сторонами b и c, теорема косинусов утверждает, что:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Применяя это к треугольнику ABC, имеем:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC)\]

2. Аналогично, для треугольника PQS, можно использовать теорему косинусов, чтобы найти длину стороны PS:
\[PS^2 = PQ^2 + QS^2 - 2 \cdot PQ \cdot QS \cdot \cos(\angle QPS)\]

3. Так как нам известно, что AB = PQ, BC = QR и углы BAC и QPS равны, мы можем заменить значения в формулах:
\[AC^2 = PQ^2 + QR^2 - 2 \cdot PQ \cdot QR \cdot \cos(\angle BAC)\]
\[PS^2 = PQ^2 + QS^2 - 2 \cdot PQ \cdot QS \cdot \cos(\angle QPS)\]

4. Теперь, сравнивая формулы для AC^2 и PS^2, мы видим, что они имеют одинаковые слагаемые, за исключением одного:
\[AC^2 - PQ^2 = QR^2 - QS^2 - 2 \cdot PQ \cdot (QR \cdot \cos(\angle BAC) - QS \cdot \cos(\angle QPS))\]

5. Далее, заметим, что по условию, у нас два равных угла: \(\angle BAC\) и \(\angle QPS\), значит \(\cos(\angle BAC) = \cos(\angle QPS)\).

6. Из предыдущего уравнения получаем:
\[AC^2 - PQ^2 = QR^2 - QS^2 - 2 \cdot PQ \cdot (QR - QS)\cdot \cos(\angle BAC)\]

7. Так как у нас также есть равенство сторон BC = QR и CD = RS, можем записать:
\[QR - QS = BC - RS\]

8. Замечаем, что BC - RS может быть заменено:
\[QR - QS = BC - RS = BC - CD = BD\]

9. Подставляя значение в предыдущее уравнение, получаем:
\[AC^2 - PQ^2 = QR^2 - QS^2 - 2 \cdot PQ \cdot BD \cdot \cos(\angle BAC)\]

10. Теперь, если мы возьмём квадратный корень от обеих частей уравнения, получаем:
\[AC - PQ = QR - QS\]

11. Таким образом, мы доказали, что длины четвертых сторон AC и PS равны.

Таким образом, при данных условиях, стороны ABCD и PQRS будут равными, включая четвертые стороны AC и PS.