Доказать, что плоскость, проходящая через линию АВ и среднюю точку Р ребра SC, делит отрезок SO в соотношении

Чтобы решить данную задачу, докажем, что плоскость, проходящая через линию АВ и среднюю точку Р ребра SC, делит отрезок SO в соотношении 3:1.

Первым шагом найдем координаты точек A, B, S и С, чтобы было легче визуализировать задачу. Пусть координаты точки A равны (x₁, y₁, z₁), а координаты точки B равны (x₂, y₂, z₂). Также, пусть координаты точки S равны (x₃, y₃, z₃), а координаты точки C равны (x₄, y₄, z₄).

Так как пирамида является правильной, все стороны и высоты равны между собой. Из этого следует, что отрезок AO (где O - вершина пирамиды) также делится в отношении 3:1, поэтому можно предположить, что отрезок SO тоже делится в этом же отношении.

Следующим шагом найдем координаты точки P, которая является средней точкой ребра SC. Для этого необходимо сложить координаты точек S и С по формуле:
\[P = \left(\frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2}, \frac{z_3 + z_4}{2}\right)\]

Теперь найдем вектор AВ и вектор SO, используя найденные координаты точек:
\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{SO} = \begin{pmatrix} x_1 - x_3 \\ y_1 - y_3 \\ z_1 - z_3 \end{pmatrix}\]

Затем найдем векторное произведение векторов АВ и SO:
\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{SO} = \begin{pmatrix} (y_2 - y_1)(z_1 - z_3) - (z_2 - z_1)(y_1 - y_3) \\ (z_2 - z_1)(x_1 - x_3) - (x_2 - x_1)(z_1 - z_3) \\ (x_2 - x_1)(y_1 - y_3) - (y_2 - y_1)(x_1 - x_3) \end{pmatrix}\]

Следующим шагом найдем точку пересечения прямой SO с плоскостью АВР. Для этого подставим координаты точки S и направляющий вектор прямой SO в уравнение плоскости АВР, и найдем t:
\[x = x_3 + (x_1 - x_3)t\]
\[y = y_3 + (y_1 - y_3)t\]
\[z = z_3 + (z_1 - z_3)t\]

Подставим найденное значение t в уравнение плоскости АВР:
\[(x_3 + (x_1 - x_3)t - x_1)(x_1 - x_2) + (y_3 + (y_1-y_3)t - y_1)(y_1 - y_2) + (z_3 + (z_1 - z_3)t - z_1)(z_1 - z_2) = 0\]

Решим это уравнение относительно t и найдем его значение. Подставим найденное значение t в уравнения координат:
\[x = x_3 + (x_1 - x_3)t\]
\[y = y_3 + (y_1 - y_3)t\]
\[z = z_3 + (z_1 - z_3)t\]

Теперь найдем точку пересечения линии BC и плоскости АВР. Для этого подставим производные координат точек B и C в уравнение плоскости АВР и найдем значение t:
\[x = x_2 + (x_1 - x_2)t\]
\[y = y_2 + (y_1 - y_2)t\]
\[z = z_2 + (z_1 - z_2)t\]

Выразим значение угла между линией ВС и плоскостью АВР, используя найденные координаты точек:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{SO})}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{SO}|}\]
\[\theta = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{SO})}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{SO}|}\right)\]

Найдем значение угла между линией, проходящей через точку М и средину линии АВ, и линией SO. Для этого воспользуемся формулой угла между двумя векторами:
\[\cos(\phi) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{SO}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{SO}|}\]
\[\phi = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{SO}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{SO}|}\right)\]

Следует отметить, что для получения точного численного значения углов требуется знание конкретных координат точек A, B, S и C, чтобы подставить их в формулы. Используя решение выше, мы можем достичь точного и полного ответа на поставленную задачу.