Для какого наибольшего отрицательного значения параметра a неравенство (3−a)x^2 −4x−a≥0 верно для всех x? Для какого

Нам нужно найти наибольшее отрицательное значение параметра \(a\), для которого данное неравенство верно для всех значений \(x\).

Для начала, давайте рассмотрим первое неравенство: \((3-a)x^2 - 4x - a \geq 0\).

Чтобы неравенство было верным для всех \(x\), дискриминант квадратного трёхчлена \(D\) должен быть меньше или равен нулю. Давайте найдем этот дискриминант:

\(D = (-4)^2 - 4(3-a)(-a) = 16 + 4a^2 - 12a\).

Теперь посмотрим на условие, что \(D \leq 0\):

\(16 + 4a^2 - 12a \leq 0\).

Перепишем это неравенство в виде квадратного трехчлена и решим его:

\(4a^2 - 12a + 16 \leq 0\).

Для дальнейшего упрощения неравенства, мы можем разделить обе части на 4:

\(a^2 - 3a + 4 \leq 0\).

Это квадратное неравенство имеет два решения. Мы можем решить его, используя метод интервалов.

Сначала найдем вершина параболы, соответствующей этому квадратному трехчлену. Формула для нахождения вершины имеет вид: \(a_v = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного трехчлена. В данном случае \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 4\).

Подставляя значения в формулу вершины, мы получим: \(a_v = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}\).

Таким образом, вершина параболы - это точка \(\left(\frac{3}{2}, f\left(\frac{3}{2}\right)\right)\).

Теперь мы знаем, что парабола либо открывается вверх, либо вниз. Поскольку у нас есть отрицательный коэффициент при \(a^2\), парабола откроется вниз.

На основе этого знания, мы можем сделать вывод о том, что неравенство \(a^2 - 3a + 4 \leq 0\) выполняется для всех значений \(a\) вне интервала между двумя корнями этого квадратного трехчлена.

Найдем корни квадратного трехчлена, приравнивая его к нулю и решая полученное уравнение:

\(a^2 - 3a + 4 = 0\).

Применяя квадратное уравнение, мы получаем:

\(a_1 = \frac{3 + \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{3 + \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 + \sqrt{-7}}{2}\).

\(a_2 = \frac{3 - \sqrt{-7}}{2}\).

Так как у нас поставлено условие, что \(a\) должно быть отрицательным, мы будем рассматривать только значение \(a_2\), так как у \(a_1\) корень из отрицательного числа.

Корень \(a_2\) равен \(\frac{3 - \sqrt{-7}}{2}\).

Таким образом, для наибольшего отрицательного значения параметра \(a\) неравенство \((3-a)x^2 - 4x - a \geq 0\) верно для всех \(x\), при \(a \leq \frac{3 - \sqrt{-7}}{2}\).

Теперь рассмотрим второе неравенство: \((a+5)x^2 + 12x + a \leq 0\).

Аналогично первому случаю, мы можем записать условие на дискриминант и решить полученное уравнение:

\(D = 12^2 - 4(a+5)a = 144 - 4a^2 - 20a\).

Условие для \(D\) будет таким: \(144 - 4a^2 - 20a \leq 0\).

Также мы можем разделить это неравенство на 4:

\(36 - a^2 - 5a \leq 0\).

Теперь решим это квадратное неравенство, используя метод интервалов.

Для начала найдем вершину параболы, соответствующей данному квадратному трехчлену.

Вершина параболы имеет координаты \(\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\).

Вычислим значение вершины, подставив значения коэффициентов в формулу: \(a_v = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}\).

Таким образом, вершина параболы - это точка \(\left(\frac{5}{2}, f\left(\frac{5}{2}\right)\right)\).

Из-за отрицательного коэффициента при \(a^2\) парабола откроется вниз.

Теперь мы можем сделать вывод о том, что неравенство \(36 - a^2 - 5a \leq 0\) выполняется для всех значений \(a\) вне интервала между двумя корнями этого квадратного трехчлена.

Найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю и решив полученное уравнение:

\(a^2 + 5a - 36 = 0\).

Применяя квадратное уравнение, мы получаем:

\(a_1 = \frac{-5 + \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2} = \frac{-5 + \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2}\).

\(a_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2}\).

Поскольку у нас поставлено условие, что \(a\) должно быть отрицательным, мы рассматриваем только значение \(a_2\), так как только оно является отрицательным.

Корень \(a_2\) равен \(\frac{-5 - \sqrt{169}}{2}\).

Итак, для наибольшего отрицательного значения параметра \(a\) неравенство \((a+5)x^2 + 12x + a \leq 0\) верно для всех \(x\), при \(a \leq \frac{-5 - \sqrt{169}}{2}\).

В обоих случаях мы рассмотрели значения параметра \(a\), удовлетворяющие условию, что \(a\) должно быть отрицательным. Но, если вам нужно знать конкретные числа, эти значения примерно равны:

Для первого неравенства: \(a \leq \frac{3 - \sqrt{-7}}{2} \approx -2.82\).

Для второго неравенства: \(a \leq \frac{-5 - \sqrt{169}}{2} \approx -10\).

Надеюсь, это подробное решение помогло вам лучше понять, как найти наибольшее отрицательное значение параметра \(a\) для данных неравенств. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!