Для какого наибольшего отрицательного значения параметра a неравенство (3−a)x^2 −4x−a≥0 верно для всех x? Для какого

Нам нужно найти наибольшее отрицательное значение параметра $a$, для которого данное неравенство верно для всех значений $x$.

Для начала, давайте рассмотрим первое неравенство: $(3-a)x^2-4x-a\ge 0$.

Чтобы неравенство было верным для всех $x$, дискриминант квадратного трёхчлена $D$ должен быть меньше или равен нулю. Давайте найдем этот дискриминант:

$D=(-4{)}^2-4(3-a)(-a)=16+4a^2-12a$.

Теперь посмотрим на условие, что $D\le 0$:

$16+4a^2-12a\le 0$.

Перепишем это неравенство в виде квадратного трехчлена и решим его:

$4a^2-12a+16\le 0$.

Для дальнейшего упрощения неравенства, мы можем разделить обе части на 4:

$a^2-3a+4\le 0$.

Это квадратное неравенство имеет два решения. Мы можем решить его, используя метод интервалов.

Сначала найдем вершина параболы, соответствующей этому квадратному трехчлену. Формула для нахождения вершины имеет вид: $a_v=-\frac{b}{2a}$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты квадратного трехчлена. В данном случае $a=1$, $b=-3$, $c=4$.

Подставляя значения в формулу вершины, мы получим: $a_v=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}$.

Таким образом, вершина параболы - это точка $(\frac{3}{2},f\left(\frac{3}{2}\right))$.

Теперь мы знаем, что парабола либо открывается вверх, либо вниз. Поскольку у нас есть отрицательный коэффициент при $a^2$, парабола откроется вниз.

На основе этого знания, мы можем сделать вывод о том, что неравенство $a^2-3a+4\le 0$ выполняется для всех значений $a$ вне интервала между двумя корнями этого квадратного трехчлена.

Найдем корни квадратного трехчлена, приравнивая его к нулю и решая полученное уравнение:

$a^2-3a+4=0$.

Применяя квадратное уравнение, мы получаем:

$a_1=\frac{3+\sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2}=\frac{3+\sqrt{9-16}}{2}=\frac{3+\sqrt{-7}}{2}$.

$a_2=\frac{3-\sqrt{-7}}{2}$.

Так как у нас поставлено условие, что $a$ должно быть отрицательным, мы будем рассматривать только значение $a_2$, так как у $a_1$ корень из отрицательного числа.

Корень $a_2$ равен $\frac{3-\sqrt{-7}}{2}$.

Таким образом, для наибольшего отрицательного значения параметра $a$ неравенство $(3-a)x^2-4x-a\ge 0$ верно для всех $x$, при $a\le \frac{3-\sqrt{-7}}{2}$.

Теперь рассмотрим второе неравенство: $(a+5)x^2+12x+a\le 0$.

Аналогично первому случаю, мы можем записать условие на дискриминант и решить полученное уравнение:

$D={12}^2-4(a+5)a=144-4a^2-20a$.

Условие для $D$ будет таким: $144-4a^2-20a\le 0$.

Также мы можем разделить это неравенство на 4:

$36-a^2-5a\le 0$.

Теперь решим это квадратное неравенство, используя метод интервалов.

Для начала найдем вершину параболы, соответствующей данному квадратному трехчлену.

Вершина параболы имеет координаты $(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$.

Вычислим значение вершины, подставив значения коэффициентов в формулу: $a_v=-\frac{-5}{2\cdot 1}=\frac{5}{2}$.

Таким образом, вершина параболы - это точка $(\frac{5}{2},f\left(\frac{5}{2}\right))$.

Из-за отрицательного коэффициента при $a^2$ парабола откроется вниз.

Теперь мы можем сделать вывод о том, что неравенство $36-a^2-5a\le 0$ выполняется для всех значений $a$ вне интервала между двумя корнями этого квадратного трехчлена.

Найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю и решив полученное уравнение:

$a^2+5a-36=0$.

Применяя квадратное уравнение, мы получаем:

$a_1=\frac{-5+\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot (-36)}}{2}=\frac{-5+\sqrt{25+144}}{2}=\frac{-5+\sqrt{169}}{2}$.

$a_2=\frac{-5-\sqrt{169}}{2}$.

Поскольку у нас поставлено условие, что $a$ должно быть отрицательным, мы рассматриваем только значение $a_2$, так как только оно является отрицательным.

Корень $a_2$ равен $\frac{-5-\sqrt{169}}{2}$.

Итак, для наибольшего отрицательного значения параметра $a$ неравенство $(a+5)x^2+12x+a\le 0$ верно для всех $x$, при $a\le \frac{-5-\sqrt{169}}{2}$.

В обоих случаях мы рассмотрели значения параметра $a$, удовлетворяющие условию, что $a$ должно быть отрицательным. Но, если вам нужно знать конкретные числа, эти значения примерно равны:

Для первого неравенства: $a\le \frac{3-\sqrt{-7}}{2}\approx -2.82$.

Для второго неравенства: $a\le \frac{-5-\sqrt{169}}{2}\approx -10$.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам лучше понять, как найти наибольшее отрицательное значение параметра $a$ для данных неравенств. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!