Для каких значений параметра a неравенство ax^2+5ax+4a+3 не будет иметь решений?

Итак, нам дано неравенство \(ax^2+5ax+4a+3\), и мы хотим найти значения параметра \(a\), при которых это неравенство не будет иметь решений.

Для решения этой задачи, нам нужно воспользоваться понятием дискриминанта квадратного трехчлена. Дискриминант определяется следующим образом:

\[
D = b^2-4ac
\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - это коэффициенты неравенства \(ax^2+bx+c\). В нашем случае, у нас есть \(a = a\), \(b = 5a\), и \(c = 4a+3\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[
D = (5a)^2 - 4a(4a+3)
\]

Упростим это выражение:

\[
D = 25a^2 - 16a^2 - 12a
\]

\[
D = 9a^2 - 12a
\]

Теперь нам нужно найти значения параметра \(a\), при которых дискриминант \(D\) будет меньше нуля. Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет вещественных корней, и наше исходное неравенство не будет иметь решений.

Поставим неравенство \(D < 0\) и решим его:

\[
9a^2 - 12a < 0
\]

Факторизуем:

\[
3a(3a - 4) < 0
\]

Теперь нам нужно понять, какие значения \(a\) удовлетворяют этому неравенству. Для этого нам понадобится построить числовую ось и определить знаки функции \(3a(3a - 4)\) на каждом из интервалов.

Итак, разделим числовую ось на три интервала:

1) Между \(-\infty\) и \(0\)
2) Между \(0\) и \(\frac{4}{3}\)
3) Между \(\frac{4}{3}\) и \(+\infty\)

Выберем точки внутри каждого интервала и определим знаки функции \(3a(3a - 4)\) на этих интервалах:

1) При \(a = -1\), \(3a(3a - 4) = 3(-1)(3(-1) - 4) = 3(-3)(-7) = 63\), что положительное число.
2) При \(a = \frac{1}{2}\), \(3a(3a - 4) = 3\left(\frac{1}{2}\right)\left(3\left(\frac{1}{2}\right) - 4\right) = \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{2} - 4\right) = \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{15}{8}\), что отрицательное число.
3) При \(a = 2\), \(3a(3a - 4) = 3(2)(3(2) - 4) = 3(2)(6 - 4) = 3(2)(2) = 12\), что положительное число.

Итак, мы видим, что функция меняет знак при \(a = \frac{4}{3}\). Значит, мы можем сделать вывод, что неравенство \(ax^2+5ax+4a+3\) не будет иметь решений, когда параметр \(a\) принимает значения между \(0\) и \(\frac{4}{3}\), то есть \(0 < a < \frac{4}{3}\).