Для каких значений p уравнение X^2 + (5-2p)x + p^2 - 5p + 4 имеет два корня - один положительный и один отрицательный?

Конечно! Чтобы определить значения переменной \( p \), для которых уравнение \( X^2 + (5-2p)x + p^2 - 5p + 4 \) имеет два корня - один положительный и один отрицательный, нам нужно применить квадратное уравнение.

Как вы знаете, квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеет корни \( x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \).

В данном случае, у нас есть уравнение \( X^2 + (5-2p)x + p^2 - 5p + 4 \), где \( a = 1 \), \( b = 5-2p \), и \( c = p^2 - 5p + 4 \).

Чтобы уравнение имело два корня, один положительный и один отрицательный, дискриминант должен быть положительным ( \( D > 0 \)). Дискриминант определяется формулой \( D = b^2 - 4ac \).

Подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \) в формулу дискриминанта:
\[ D = (5-2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p^2 - 5p + 4) \]

Раскроем скобки:
\[ D = (25 - 20p + 4p^2) - (4p^2 - 20p + 16) \]

Упростим выражение:
\[ D = 25 - 20p + 4p^2 - 4p^2 + 20p - 16 \]
\[ D = 9 \]

Теперь, чтобы найти значения \( p \), для которых уравнение имеет два корня - один положительный и один отрицательный, мы знаем, что \( D > 0 \). Подставим значение \( D \) в неравенство:
\[ 9 > 0 \]

Данное неравенство выполняется для любых значений \( p \). То есть, уравнение \( X^2 + (5-2p)x + p^2 - 5p + 4 \) будет иметь два корня - один положительный и один отрицательный для любых значений переменной \( p \).