Для каких значений p уравнение X^2 + (5-2p)x + p^2 - 5p + 4 имеет два корня

Question

Алгебра: Для каких значений p уравнение X^2 + (5-2p)x + p^2 - 5p + 4 имеет два корня - один положительный и один отрицательный?

Veselyy_Smeh · Accepted Answer

Конечно! Чтобы определить значения переменной

p

, для которых уравнение

X^{2} + (5 - 2 p) x + p^{2} - 5 p + 4

имеет два корня - один положительный и один отрицательный, нам нужно применить квадратное уравнение.

Как вы знаете, квадратное уравнение вида

a x^{2} + b x + c = 0

имеет корни

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

.

В данном случае, у нас есть уравнение

X^{2} + (5 - 2 p) x + p^{2} - 5 p + 4

, где

a = 1

,

b = 5 - 2 p

, и

c = p^{2} - 5 p + 4

.

Чтобы уравнение имело два корня, один положительный и один отрицательный, дискриминант должен быть положительным (

D > 0

). Дискриминант определяется формулой

D = b^{2} - 4 a c

.

Подставим значения

a

,

b

и

c

в формулу дискриминанта:

D = (5 - 2 p)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (p^{2} - 5 p + 4)

Раскроем скобки:

D = (25 - 20 p + 4 p^{2}) - (4 p^{2} - 20 p + 16)

Упростим выражение:

D = 25 - 20 p + 4 p^{2} - 4 p^{2} + 20 p - 16

D = 9

Теперь, чтобы найти значения

p

, для которых уравнение имеет два корня - один положительный и один отрицательный, мы знаем, что

D > 0

. Подставим значение

D

в неравенство:

9 > 0

Данное неравенство выполняется для любых значений

p

. То есть, уравнение

X^{2} + (5 - 2 p) x + p^{2} - 5 p + 4

будет иметь два корня - один положительный и один отрицательный для любых значений переменной

p

.

Для каких значений p уравнение X^2 + (5-2p)x + p^2 - 5p + 4 имеет два корня - один положительный и один отрицательный?