Какая разность должна быть в арифметической прогрессии, чтобы произведение третьего и пятого членов было наименьшим

Дана арифметическая прогрессия, где третий член равен утроенному второму члену. Пусть первый член этой прогрессии равен \(a\), а разность прогрессии равна \(d\).

Тогда второй член будет равен \(a + d\), а третий член - \(3(a + d)\).

Произведение третьего и пятого членов этой арифметической прогрессии будет:

\((3(a + d))((a + 3d) = 3a^2 + 9ad + 3d^2\) (1)

Нам нужно найти такую разность, при которой это произведение будет минимальным.

Поэтому мы возьмем производную квадратного трехчлена по переменной \(d\) и приравниваем его к нулю, чтобы найти критические точки:

\(\frac{d}{dd}(3a^2 + 9ad + 3d^2) = 0\)

\(9a + 6d = 0\)

\(9a = -6d\)

\(d = -\frac{9a}{6}\) (2)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение (1):

\(3a^2 + 9a(\frac{-9a}{6}) + 3(\frac{-9a}{6})^2\)

\(3a^2 - 9a^2 + \frac{27a^2}{4}\)

\(\frac{27}{4}a^2 -6a^2\)

\(\frac{3}{4}a^2\)

Итак, произведение третьего и пятого членов будет минимальным, когда \(a\) является корнем данного квадратного уравнения \(\frac{3}{4}a^2\), что предполагает, что оно равно нулю.

Таким образом, разность должна быть равна нулю, чтобы произведение третьего и пятого членов было наименьшим.

Пожалуйста, обратите внимание, что эти рассуждения и решение предназначены для школьников, которые изучают прогрессии на уровне начальной школы или средней школы, поэтому я предоставил все необходимые шаги для полного объяснения.