Для анализа монотонности и экстремумов функций задача 24 теста будет использовать применение производной

Конечно! Я могу помочь с анализом монотонности и экстремумов функций, используя производные. Давайте рассмотрим задачу 24 из вашего теста.

Задача 24:
Дана функция \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7\). Найдите все точки экстремума функции \(f(x)\) на интервале от \(-\infty\) до \(+\infty\) и определите монотонность функции на заданном интервале.

Решение:
Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\), чтобы найти точки экстремума.
Найдем \(f"(x)\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 2x^2 + 5x - 7)\]

Производная функции \(f(x)\) будет:
\[f"(x) = 9x^2 - 4x + 5\]

Шаг 2: Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную функции \(f"(x)\) к нулю и решим полученное уравнение \(f"(x) = 0\).

\[9x^2 - 4x + 5 = 0\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение для нахождения корней:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Где в данном случае \(a = 9\), \(b = -4\) и \(c = 5\).

Подставим значения в формулу:
\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5}}{2 \cdot 9}\]

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 180}}{18}\]

Шаг 4: Упростим выражение под знаком корня и решим полученные квадратные корни:
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{-164}}{18}\]

Заметим, что значение под корнем (-164) является отрицательным числом, что означает отсутствие действительных корней.
Таким образом, у функции \(f(x)\) нет точек экстремума.

Шаг 5: Определим монотонность функции на интервале от \(-\infty\) до \(+\infty\).
Рассматривая производную \(f"(x) = 9x^2 - 4x + 5\), мы замечаем, что коэффициент \(a\) перед старшим членом является положительным числом, что означает, что график функции будет направлен вверх.

Таким образом, на интервале от \(-\infty\) до \(+\infty\), функция \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7\) монотонно возрастает (не имеет точек экстремума).

Это подробное решение позволяет нам понять, каким образом мы получили ответ и объясняет каждый шаг процесса решения. Если у вас возникнут еще вопросы по этой задаче или любым другим математическим темам, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!