Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке O. Прямые AB и CD пересекаются в точке P. Точка X на отрезке BD выбрана таким образом, что угол APX равен углу DPO. Известно, что AC = 10, BD = 11, OC = 3. Найдите длину отрезка BC.
Звездная_Тайна
Давайте решим данную задачу пошагово.
Шаг 1: Посмотрим на задачу и обозначим известные величины.
- Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.
- Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
- Точка X на отрезке BD выбрана таким образом, что угол APX равен углу DPO.
- Известно, что AC = 10, BD = 11, OC = 3.
Шаг 2: Нам требуется найти длину отрезка PX, обозначим её как х.
Шаг 3: Вспомним, что в четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение длин диагоналей равно произведению длин их пересекающихся отрезков, т.е. AC * BD = OC * OD + OA * OB.
Шаг 4: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PX:
10 * 11 = 3 * OD + 3 * OB,
110 - 9 = 3 * (OD + OB),
101 = 3 * (OD + OB).
Шаг 5: Обратим внимание на прямоугольный треугольник APO:
- Угол APO - это угол, равный углу DPO.
- Угол OAP - это дополнительный угол к углу APX.
Шаг 6: Используем теорему синусов в треугольнике APO. Давайте обозначим угол APO как θ:
\(\frac{AC}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 7: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение AP:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 8: Также, используем теорему синусов в треугольнике DPO:
\(\frac{BD}{\sin(\theta)} = \frac{PO}{\sin(\angle DPO)}\).
Шаг 9: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PO:
\(\frac{11}{\sin(\theta)} = \frac{PO}{\sin(\angle DPO)}\).
Шаг 10: Обратим внимание на квадратный треугольник OPX:
- Угол POX - это угол, равный углу PAO.
- Угол OPX - это угол, равный углу OAB.
Шаг 11: Используем теорему синусов в треугольнике OPX. Обозначим угол POX как φ:
\(\frac{PO}{\sin(\phi)} = \frac{PX}{\sin(\angle OPX)}\).
Шаг 12: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PX:
\(\frac{PO}{\sin(\phi)} = \frac{PX}{\sin(\angle OPX)}\).
Шаг 13: Теперь у нас есть два уравнения, содержащих неизвестные значения AP, PO и PX:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\) и \(\frac{11}{\sin(\theta)} = \frac{PO}{\sin(\angle DPO)}\).
Шаг 14: Используем свойство равенства углов симметричных относительно диагоналей четырехугольника. Это означает, что \(\angle AOP = \angle DPO\) и \(\angle OPX = \angle PAO\).
Шаг 15: Подставим равные углы в уравнения и перепишем их:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle DPO)}\) и \(\frac{11}{\sin(\theta)} = \frac{PO}{\sin(\angle DPO)}\).
Шаг 16: Обратим внимание, что \(\frac{AP}{PO}\) это отношение длин сторон подобных треугольников APO и DPB. Так как треугольник APO прямоугольный, то \(\frac{AP}{PO} = \tan(\theta)\).
Шаг 17: Из равенства \(\frac{AP}{PO} = \tan(\theta)\) следует, что \(\frac{AP}{PO} = \frac{10}{11}\), так как \(\frac{AP}{PO}\) это отношение длин сторон подобных треугольников по определению.
Шаг 18: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение PX:
\(\frac{10}{11} = \frac{PX}{PO}\).
Шаг 19: Подставим в это уравнение, выражение для PO, полученное из шага 9:
\(\frac{10}{11} = \frac{PX}{\frac{11}{\sin(\theta)} \cdot \sin(\angle DPO)}\).
Шаг 20: Сократим \(\frac{11}{11}\) и \(\sin(\angle DPO)\):
\(\frac{10}{11} = \frac{PX}{\sin(\theta)}\).
Шаг 21: Уравнения из шагов 13 и 20 имеют общее неизвестное значение \(\frac{AP}{\sin(\theta)}\). Подставим это значение в уравнение из шага 20:
\(\frac{10}{11} = \frac{\frac{AP}{\sin(\theta)}}{\sin(\theta)}\).
Шаг 22: Упростим это уравнение:
\(\frac{10}{11} = \frac{AP}{\sin(\theta)}\).
Шаг 23: Подставим это значение для \(AP/\sin(\theta)\) в уравнение из шага 7:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{\frac{AP}{\sin(\theta)}}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 24: Упростим это уравнение:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 25: Сравним уравнение из шага 24 и уравнение из шага 7 и отметим, что они равны. Значит, мы можем записать:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{\frac{AP}{\sin(\theta)}}{\sin(\angle AOP)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 26: Таким образом, мы можем выразить значение \(AP/\sin(\angle AOP)\) как \(\frac{10}{\sin(\theta)}\).
Шаг 27: Обратим внимание на треугольник AOP и использовать теорему синусов:
\(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)} = \frac{OA}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 28: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение \(AP/\sin(\angle AOP)\):
\(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 29: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение \(AP/\sin(\angle AOP)\):
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 30: Обратим внимание на треугольник OAP и используем теорему синусов:
\(\frac{OC}{\sin(\angle OAP)} = \frac{OA}{\sin(\angle OPA)}\).
Шаг 31: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение \(OA/\sin(\angle OAP)\):
\(\frac{3}{\sin(\angle OAP)} = \frac{3}{\sin(\angle OPA)}\).
Шаг 32: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение \(OA/\sin(\angle OAP)\):
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{3}{\sin(\angle OPA)}\).
Шаг 33: Так как \(\angle OAP\) и \(\angle OPA\) это дополнительные углы относительно одной и той же диагонали, \(\sin(\angle OPA) = \sin(\angle OAP)\).
Шаг 34: Заменим \(\sin(\angle OPA)\) на \(\sin(\angle OAP)\) в уравнении из шага 32:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 35: Мы получили два уравнения, содержащие только неизвестное значение \(\frac{AP}{\sin(\theta)}\):
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{\frac{AP}{\sin(\theta)}}{\sin(\angle AOP)}\) и \(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 36: Сравнив уравнения из шага 35 и отметив, что они равны, у нас есть:
\(\frac{10}{\sin(\angle AOP)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 37: Упростим это уравнение:
\(10 \cdot \sin(\angle OAP) = 3 \cdot \sin(\angle AOP)\).
Шаг 38: Рассмотрим прямоугольный треугольник APO:
\(\sin(\angle AOP) = \frac{AP}{AO}\) и \(\sin(\angle OAP) = \frac{OP}{OA}\).
Шаг 39: Подставим эти значения в уравнение из шага 37:
\(10 \cdot \frac{OP}{OA} = 3 \cdot \frac{AP}{AO}\).
Шаг 40: Обратим внимание на прямоугольный треугольник OPD:
- \(\frac{OP}{OA} = \tan(\phi)\).
- \(\frac{PO}{OD} = \tan(\theta)\).
Шаг 41: Подставим значения из шага 40 в уравнение из шага 39 и получим:
\(10 \cdot \frac{\tan(\phi)}{\tan(\theta)} = 3 \cdot \frac{AP}{AO}\).
Шаг 42: Обратим внимание на треугольник AOP и используем теорему синусов:
\(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)} = \frac{AO}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 43: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение \(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\):
\(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)} = \frac{AO}{\sin(\angle OAP)} = \frac{3}{\tan(\theta)}\).
Шаг 44: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение \(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\):
\(\frac{10}{\tan(\phi)} = \frac{3}{\tan(\theta)}\).
Шаг 45: Подставим равность \(\tan(\phi) = \frac{PX}{PO}\) из шага 11 и \(\tan(\theta) = \frac{AP}{PO}\) из шага 16 в уравнение из шага 44 и получим:
\(\frac{10}{\frac{PX}{PO}} = \frac{3}{\frac{AP}{PO}}\).
Шаг 46: Упростим это уравнение:
\(\frac{10}{\frac{PX}{PO}} = \frac{3 \cdot PO}{AP}\).
Шаг 47: Обратим внимание на треугольник OPX и используем теорему синусов:
\(\frac{PX}{\sin(\angle OPX)} = \frac{PO}{\sin(\angle POX)}\).
Шаг 48: Мы знаем, что \(\sin(\angle POX) = \sin(\angle PAO)\) и \(\sin(\angle OPX) = \sin(\angle OAB)\).
Шаг 49: Подставим значения из шага 48 в уравнение из шага 47:
\(\frac{PX}{\sin(\angle OAB)} = \frac{PO}{\sin(\angle PAO)}\).
Шаг 50: Обратим внимание на треугольник AOB и используем теорему синусов:
\(\frac{AB}{\sin(\angle AOB)} = \frac{AO}{\sin(\angle OAB)}\).
Шаг 51: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение \(\frac{AO}{\sin(\angle OAB)}\):
\(\frac{11}{\sin(\angle AOB)} = \frac{3}{\sin(\angle OAB)}\).
Шаг 52: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение \(\frac{AO}{\sin(\angle OAB)}\):
\(\frac{3}{\sin(\angle OAB)} = \frac{11}{\sin(\angle AOB)}\).
Шаг 53: Заменим \(\sin(\angle OAB)\) на \(\sin(\angle PAO)\) из шага 46 и \(\sin(\angle AOB)\) на \(\sin(\angle OPX)\) из шага 48:
\(\frac{PX}{\sin(\angle OAB)} = \frac{PO}{\sin(\angle PAO)} = \frac{11}{\sin(\angle OPX)}\).
Шаг 54: Подставим значения из шага 53 в уравнение из шага 44 и получим:
\(\frac{10}{\
Шаг 1: Посмотрим на задачу и обозначим известные величины.
- Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.
- Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
- Точка X на отрезке BD выбрана таким образом, что угол APX равен углу DPO.
- Известно, что AC = 10, BD = 11, OC = 3.
Шаг 2: Нам требуется найти длину отрезка PX, обозначим её как х.
Шаг 3: Вспомним, что в четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение длин диагоналей равно произведению длин их пересекающихся отрезков, т.е. AC * BD = OC * OD + OA * OB.
Шаг 4: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PX:
10 * 11 = 3 * OD + 3 * OB,
110 - 9 = 3 * (OD + OB),
101 = 3 * (OD + OB).
Шаг 5: Обратим внимание на прямоугольный треугольник APO:
- Угол APO - это угол, равный углу DPO.
- Угол OAP - это дополнительный угол к углу APX.
Шаг 6: Используем теорему синусов в треугольнике APO. Давайте обозначим угол APO как θ:
\(\frac{AC}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 7: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение AP:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 8: Также, используем теорему синусов в треугольнике DPO:
\(\frac{BD}{\sin(\theta)} = \frac{PO}{\sin(\angle DPO)}\).
Шаг 9: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PO:
\(\frac{11}{\sin(\theta)} = \frac{PO}{\sin(\angle DPO)}\).
Шаг 10: Обратим внимание на квадратный треугольник OPX:
- Угол POX - это угол, равный углу PAO.
- Угол OPX - это угол, равный углу OAB.
Шаг 11: Используем теорему синусов в треугольнике OPX. Обозначим угол POX как φ:
\(\frac{PO}{\sin(\phi)} = \frac{PX}{\sin(\angle OPX)}\).
Шаг 12: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PX:
\(\frac{PO}{\sin(\phi)} = \frac{PX}{\sin(\angle OPX)}\).
Шаг 13: Теперь у нас есть два уравнения, содержащих неизвестные значения AP, PO и PX:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\) и \(\frac{11}{\sin(\theta)} = \frac{PO}{\sin(\angle DPO)}\).
Шаг 14: Используем свойство равенства углов симметричных относительно диагоналей четырехугольника. Это означает, что \(\angle AOP = \angle DPO\) и \(\angle OPX = \angle PAO\).
Шаг 15: Подставим равные углы в уравнения и перепишем их:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle DPO)}\) и \(\frac{11}{\sin(\theta)} = \frac{PO}{\sin(\angle DPO)}\).
Шаг 16: Обратим внимание, что \(\frac{AP}{PO}\) это отношение длин сторон подобных треугольников APO и DPB. Так как треугольник APO прямоугольный, то \(\frac{AP}{PO} = \tan(\theta)\).
Шаг 17: Из равенства \(\frac{AP}{PO} = \tan(\theta)\) следует, что \(\frac{AP}{PO} = \frac{10}{11}\), так как \(\frac{AP}{PO}\) это отношение длин сторон подобных треугольников по определению.
Шаг 18: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение PX:
\(\frac{10}{11} = \frac{PX}{PO}\).
Шаг 19: Подставим в это уравнение, выражение для PO, полученное из шага 9:
\(\frac{10}{11} = \frac{PX}{\frac{11}{\sin(\theta)} \cdot \sin(\angle DPO)}\).
Шаг 20: Сократим \(\frac{11}{11}\) и \(\sin(\angle DPO)\):
\(\frac{10}{11} = \frac{PX}{\sin(\theta)}\).
Шаг 21: Уравнения из шагов 13 и 20 имеют общее неизвестное значение \(\frac{AP}{\sin(\theta)}\). Подставим это значение в уравнение из шага 20:
\(\frac{10}{11} = \frac{\frac{AP}{\sin(\theta)}}{\sin(\theta)}\).
Шаг 22: Упростим это уравнение:
\(\frac{10}{11} = \frac{AP}{\sin(\theta)}\).
Шаг 23: Подставим это значение для \(AP/\sin(\theta)\) в уравнение из шага 7:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{\frac{AP}{\sin(\theta)}}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 24: Упростим это уравнение:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 25: Сравним уравнение из шага 24 и уравнение из шага 7 и отметим, что они равны. Значит, мы можем записать:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{\frac{AP}{\sin(\theta)}}{\sin(\angle AOP)} = \frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\).
Шаг 26: Таким образом, мы можем выразить значение \(AP/\sin(\angle AOP)\) как \(\frac{10}{\sin(\theta)}\).
Шаг 27: Обратим внимание на треугольник AOP и использовать теорему синусов:
\(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)} = \frac{OA}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 28: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение \(AP/\sin(\angle AOP)\):
\(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 29: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение \(AP/\sin(\angle AOP)\):
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 30: Обратим внимание на треугольник OAP и используем теорему синусов:
\(\frac{OC}{\sin(\angle OAP)} = \frac{OA}{\sin(\angle OPA)}\).
Шаг 31: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение \(OA/\sin(\angle OAP)\):
\(\frac{3}{\sin(\angle OAP)} = \frac{3}{\sin(\angle OPA)}\).
Шаг 32: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение \(OA/\sin(\angle OAP)\):
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{3}{\sin(\angle OPA)}\).
Шаг 33: Так как \(\angle OAP\) и \(\angle OPA\) это дополнительные углы относительно одной и той же диагонали, \(\sin(\angle OPA) = \sin(\angle OAP)\).
Шаг 34: Заменим \(\sin(\angle OPA)\) на \(\sin(\angle OAP)\) в уравнении из шага 32:
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 35: Мы получили два уравнения, содержащие только неизвестное значение \(\frac{AP}{\sin(\theta)}\):
\(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{\frac{AP}{\sin(\theta)}}{\sin(\angle AOP)}\) и \(\frac{10}{\sin(\theta)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 36: Сравнив уравнения из шага 35 и отметив, что они равны, у нас есть:
\(\frac{10}{\sin(\angle AOP)} = \frac{3}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 37: Упростим это уравнение:
\(10 \cdot \sin(\angle OAP) = 3 \cdot \sin(\angle AOP)\).
Шаг 38: Рассмотрим прямоугольный треугольник APO:
\(\sin(\angle AOP) = \frac{AP}{AO}\) и \(\sin(\angle OAP) = \frac{OP}{OA}\).
Шаг 39: Подставим эти значения в уравнение из шага 37:
\(10 \cdot \frac{OP}{OA} = 3 \cdot \frac{AP}{AO}\).
Шаг 40: Обратим внимание на прямоугольный треугольник OPD:
- \(\frac{OP}{OA} = \tan(\phi)\).
- \(\frac{PO}{OD} = \tan(\theta)\).
Шаг 41: Подставим значения из шага 40 в уравнение из шага 39 и получим:
\(10 \cdot \frac{\tan(\phi)}{\tan(\theta)} = 3 \cdot \frac{AP}{AO}\).
Шаг 42: Обратим внимание на треугольник AOP и используем теорему синусов:
\(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)} = \frac{AO}{\sin(\angle OAP)}\).
Шаг 43: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение \(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\):
\(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)} = \frac{AO}{\sin(\angle OAP)} = \frac{3}{\tan(\theta)}\).
Шаг 44: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение \(\frac{AP}{\sin(\angle AOP)}\):
\(\frac{10}{\tan(\phi)} = \frac{3}{\tan(\theta)}\).
Шаг 45: Подставим равность \(\tan(\phi) = \frac{PX}{PO}\) из шага 11 и \(\tan(\theta) = \frac{AP}{PO}\) из шага 16 в уравнение из шага 44 и получим:
\(\frac{10}{\frac{PX}{PO}} = \frac{3}{\frac{AP}{PO}}\).
Шаг 46: Упростим это уравнение:
\(\frac{10}{\frac{PX}{PO}} = \frac{3 \cdot PO}{AP}\).
Шаг 47: Обратим внимание на треугольник OPX и используем теорему синусов:
\(\frac{PX}{\sin(\angle OPX)} = \frac{PO}{\sin(\angle POX)}\).
Шаг 48: Мы знаем, что \(\sin(\angle POX) = \sin(\angle PAO)\) и \(\sin(\angle OPX) = \sin(\angle OAB)\).
Шаг 49: Подставим значения из шага 48 в уравнение из шага 47:
\(\frac{PX}{\sin(\angle OAB)} = \frac{PO}{\sin(\angle PAO)}\).
Шаг 50: Обратим внимание на треугольник AOB и используем теорему синусов:
\(\frac{AB}{\sin(\angle AOB)} = \frac{AO}{\sin(\angle OAB)}\).
Шаг 51: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение \(\frac{AO}{\sin(\angle OAB)}\):
\(\frac{11}{\sin(\angle AOB)} = \frac{3}{\sin(\angle OAB)}\).
Шаг 52: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение \(\frac{AO}{\sin(\angle OAB)}\):
\(\frac{3}{\sin(\angle OAB)} = \frac{11}{\sin(\angle AOB)}\).
Шаг 53: Заменим \(\sin(\angle OAB)\) на \(\sin(\angle PAO)\) из шага 46 и \(\sin(\angle AOB)\) на \(\sin(\angle OPX)\) из шага 48:
\(\frac{PX}{\sin(\angle OAB)} = \frac{PO}{\sin(\angle PAO)} = \frac{11}{\sin(\angle OPX)}\).
Шаг 54: Подставим значения из шага 53 в уравнение из шага 44 и получим:
\(\frac{10}{\
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
