Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке O. Прямые AB и CD пересекаются в точке

Давайте решим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Посмотрим на задачу и обозначим известные величины.
- Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.
- Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
- Точка X на отрезке BD выбрана таким образом, что угол APX равен углу DPO.
- Известно, что AC = 10, BD = 11, OC = 3.

Шаг 2: Нам требуется найти длину отрезка PX, обозначим её как х.

Шаг 3: Вспомним, что в четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение длин диагоналей равно произведению длин их пересекающихся отрезков, т.е. AC * BD = OC * OD + OA * OB.

Шаг 4: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PX:
10 * 11 = 3 * OD + 3 * OB,
110 - 9 = 3 * (OD + OB),
101 = 3 * (OD + OB).

Шаг 5: Обратим внимание на прямоугольный треугольник APO:
- Угол APO - это угол, равный углу DPO.
- Угол OAP - это дополнительный угол к углу APX.

Шаг 6: Используем теорему синусов в треугольнике APO. Давайте обозначим угол APO как θ:
$\frac{AC}{\sin (\theta )}=\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$.

Шаг 7: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение AP:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$.

Шаг 8: Также, используем теорему синусов в треугольнике DPO:
$\frac{BD}{\sin (\theta )}=\frac{PO}{\sin (\mathrm{\angle }DPO)}$.

Шаг 9: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PO:
$\frac{11}{\sin (\theta )}=\frac{PO}{\sin (\mathrm{\angle }DPO)}$.

Шаг 10: Обратим внимание на квадратный треугольник OPX:
- Угол POX - это угол, равный углу PAO.
- Угол OPX - это угол, равный углу OAB.

Шаг 11: Используем теорему синусов в треугольнике OPX. Обозначим угол POX как φ:
$\frac{PO}{\sin (\varphi )}=\frac{PX}{\sin (\mathrm{\angle }OPX)}$.

Шаг 12: Подставим известные значения в это равенство и выразим неизвестное значение PX:
$\frac{PO}{\sin (\varphi )}=\frac{PX}{\sin (\mathrm{\angle }OPX)}$.

Шаг 13: Теперь у нас есть два уравнения, содержащих неизвестные значения AP, PO и PX:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$ и $\frac{11}{\sin (\theta )}=\frac{PO}{\sin (\mathrm{\angle }DPO)}$.

Шаг 14: Используем свойство равенства углов симметричных относительно диагоналей четырехугольника. Это означает, что $\mathrm{\angle }AOP=\mathrm{\angle }DPO$ и $\mathrm{\angle }OPX=\mathrm{\angle }PAO$.

Шаг 15: Подставим равные углы в уравнения и перепишем их:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }DPO)}$ и $\frac{11}{\sin (\theta )}=\frac{PO}{\sin (\mathrm{\angle }DPO)}$.

Шаг 16: Обратим внимание, что $\frac{AP}{PO}$ это отношение длин сторон подобных треугольников APO и DPB. Так как треугольник APO прямоугольный, то $\frac{AP}{PO}=\tan (\theta )$.

Шаг 17: Из равенства $\frac{AP}{PO}=\tan (\theta )$ следует, что $\frac{AP}{PO}=\frac{10}{11}$, так как $\frac{AP}{PO}$ это отношение длин сторон подобных треугольников по определению.

Шаг 18: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение PX:
$\frac{10}{11}=\frac{PX}{PO}$.

Шаг 19: Подставим в это уравнение, выражение для PO, полученное из шага 9:
$\frac{10}{11}=\frac{PX}{\frac{11}{\sin (\theta )}\cdot \sin (\mathrm{\angle }DPO)}$.

Шаг 20: Сократим $\frac{11}{11}$ и $\sin (\mathrm{\angle }DPO)$:
$\frac{10}{11}=\frac{PX}{\sin (\theta )}$.

Шаг 21: Уравнения из шагов 13 и 20 имеют общее неизвестное значение $\frac{AP}{\sin (\theta )}$. Подставим это значение в уравнение из шага 20:
$\frac{10}{11}=\frac{\frac{AP}{\sin (\theta )}}{\sin (\theta )}$.

Шаг 22: Упростим это уравнение:
$\frac{10}{11}=\frac{AP}{\sin (\theta )}$.

Шаг 23: Подставим это значение для $AP/\sin (\theta )$ в уравнение из шага 7:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{\frac{AP}{\sin (\theta )}}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$.

Шаг 24: Упростим это уравнение:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$.

Шаг 25: Сравним уравнение из шага 24 и уравнение из шага 7 и отметим, что они равны. Значит, мы можем записать:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{\frac{AP}{\sin (\theta )}}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}=\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$.

Шаг 26: Таким образом, мы можем выразить значение $AP/\sin (\mathrm{\angle }AOP)$ как $\frac{10}{\sin (\theta )}$.

Шаг 27: Обратим внимание на треугольник AOP и использовать теорему синусов:
$\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}=\frac{OA}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}$.

Шаг 28: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение $AP/\sin (\mathrm{\angle }AOP)$:
$\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}=\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}$.

Шаг 29: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение $AP/\sin (\mathrm{\angle }AOP)$:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}$.

Шаг 30: Обратим внимание на треугольник OAP и используем теорему синусов:
$\frac{OC}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}=\frac{OA}{\sin (\mathrm{\angle }OPA)}$.

Шаг 31: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение $OA/\sin (\mathrm{\angle }OAP)$:
$\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}=\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OPA)}$.

Шаг 32: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение $OA/\sin (\mathrm{\angle }OAP)$:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OPA)}$.

Шаг 33: Так как $\mathrm{\angle }OAP$ и $\mathrm{\angle }OPA$ это дополнительные углы относительно одной и той же диагонали, $\sin (\mathrm{\angle }OPA)=\sin (\mathrm{\angle }OAP)$.

Шаг 34: Заменим $\sin (\mathrm{\angle }OPA)$ на $\sin (\mathrm{\angle }OAP)$ в уравнении из шага 32:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}$.

Шаг 35: Мы получили два уравнения, содержащие только неизвестное значение $\frac{AP}{\sin (\theta )}$:
$\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{\frac{AP}{\sin (\theta )}}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$ и $\frac{10}{\sin (\theta )}=\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}$.

Шаг 36: Сравнив уравнения из шага 35 и отметив, что они равны, у нас есть:
$\frac{10}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}=\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}$.

Шаг 37: Упростим это уравнение:
$10\cdot \sin (\mathrm{\angle }OAP)=3\cdot \sin (\mathrm{\angle }AOP)$.

Шаг 38: Рассмотрим прямоугольный треугольник APO:
$\sin (\mathrm{\angle }AOP)=\frac{AP}{AO}$ и $\sin (\mathrm{\angle }OAP)=\frac{OP}{OA}$.

Шаг 39: Подставим эти значения в уравнение из шага 37:
$10\cdot \frac{OP}{OA}=3\cdot \frac{AP}{AO}$.

Шаг 40: Обратим внимание на прямоугольный треугольник OPD:
- $\frac{OP}{OA}=\tan (\varphi )$.
- $\frac{PO}{OD}=\tan (\theta )$.

Шаг 41: Подставим значения из шага 40 в уравнение из шага 39 и получим:
$10\cdot \frac{\tan (\varphi )}{\tan (\theta )}=3\cdot \frac{AP}{AO}$.

Шаг 42: Обратим внимание на треугольник AOP и используем теорему синусов:
$\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}=\frac{AO}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}$.

Шаг 43: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение $\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$:
$\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}=\frac{AO}{\sin (\mathrm{\angle }OAP)}=\frac{3}{\tan (\theta )}$.

Шаг 44: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение $\frac{AP}{\sin (\mathrm{\angle }AOP)}$:
$\frac{10}{\tan (\varphi )}=\frac{3}{\tan (\theta )}$.

Шаг 45: Подставим равность $\tan (\varphi )=\frac{PX}{PO}$ из шага 11 и $\tan (\theta )=\frac{AP}{PO}$ из шага 16 в уравнение из шага 44 и получим:
$\frac{10}{\frac{PX}{PO}}=\frac{3}{\frac{AP}{PO}}$.

Шаг 46: Упростим это уравнение:
$\frac{10}{\frac{PX}{PO}}=\frac{3\cdot PO}{AP}$.

Шаг 47: Обратим внимание на треугольник OPX и используем теорему синусов:
$\frac{PX}{\sin (\mathrm{\angle }OPX)}=\frac{PO}{\sin (\mathrm{\angle }POX)}$.

Шаг 48: Мы знаем, что $\sin (\mathrm{\angle }POX)=\sin (\mathrm{\angle }PAO)$ и $\sin (\mathrm{\angle }OPX)=\sin (\mathrm{\angle }OAB)$.

Шаг 49: Подставим значения из шага 48 в уравнение из шага 47:
$\frac{PX}{\sin (\mathrm{\angle }OAB)}=\frac{PO}{\sin (\mathrm{\angle }PAO)}$.

Шаг 50: Обратим внимание на треугольник AOB и используем теорему синусов:
$\frac{AB}{\sin (\mathrm{\angle }AOB)}=\frac{AO}{\sin (\mathrm{\angle }OAB)}$.

Шаг 51: Подставим известные значения и выразим неизвестное значение $\frac{AO}{\sin (\mathrm{\angle }OAB)}$:
$\frac{11}{\sin (\mathrm{\angle }AOB)}=\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OAB)}$.

Шаг 52: Теперь мы можем записать уравнение, содержащее только неизвестное значение $\frac{AO}{\sin (\mathrm{\angle }OAB)}$:
$\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }OAB)}=\frac{11}{\sin (\mathrm{\angle }AOB)}$.

Шаг 53: Заменим $\sin (\mathrm{\angle }OAB)$ на $\sin (\mathrm{\angle }PAO)$ из шага 46 и $\sin (\mathrm{\angle }AOB)$ на $\sin (\mathrm{\angle }OPX)$ из шага 48:
$\frac{PX}{\sin (\mathrm{\angle }OAB)}=\frac{PO}{\sin (\mathrm{\angle }PAO)}=\frac{11}{\sin (\mathrm{\angle }OPX)}$.

Шаг 54: Подставим значения из шага 53 в уравнение из шага 44 и получим:
\(\frac{10}{\