Де знаходяться проміжки збільшення функції f(x) = 24x—2x3?

Хорошо, мы рассмотрим данную задачу пошагово. Функция \(f(x) = 24x - 2x^3\) представляет собой кубическую функцию с коэффициентами \(a = -2\), \(b = 0\) и \(c = 0\).

1. Начнем с поиска критических точек функции, где возможно нахождение промежутков увеличения.
2. Для этого вычислим первую производную функции \(f"(x)\). Чтобы найти производную функции, применим правило дифференцирования для каждого члена функции:
\[f"(x) = \frac{d}{dx} (24x - 2x^3).\]
Найдем производную каждого члена отдельно:
\[\frac{d}{dx} (24x) = 24,\]
\[\frac{d}{dx} (-2x^3) = -6x^2.\]
Объединим полученные производные:
\[f"(x) = 24 - 6x^2.\]

3. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем \(f"(x)\) к нулю и решим уравнение:
\[24 - 6x^2 = 0.\]
Вынесем общий множитель:
\[6(4 - x^2) = 0.\]
Поделим обе части уравнения на 6:
\[4 - x^2 = 0.\]
Теперь решим полученное квадратное уравнение для \(x\):
\[x^2 = 4.\]
Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\[x = \pm 2.\]
Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 2\) и \(x = -2\).

4. Чтобы определить, какие из этих критических точек соответствуют промежуткам увеличения, нам нужно проанализировать знак производной \(f"(x)\) в интервалах между и вне критических точек.

5. Рассмотрим интервалы:
a) Когда \(x < -2\):
Возьмем произвольную точку \(-3\) в этом интервале и подставим ее в \(f"(x)\):
\[f"(-3) = 24 - 6(-3)^2 = 24 - 54 = -30.\]
Знак отрицательный (-30 < 0).
Значит, в этом интервале производная \(f"(x)\) отрицательна, а значит, функция \(f(x)\) убывает.

b) Когда \(-2 < x < 2\):
Возьмем произвольную точку \(0\) в этом интервале и подставим ее в \(f"(x)\):
\[f"(0) = 24 - 6(0)^2 = 24 - 0 = 24.\]
Знак положительный (24 > 0).
Значит, в этом интервале производная \(f"(x)\) положительна, а значит, функция \(f(x)\) возрастает.

c) Когда \(x > 2\):
Возьмем произвольную точку \(3\) в этом интервале и подставим ее в \(f"(x)\):
\[f"(3) = 24 - 6(3)^2 = 24 - 54 = -30.\]
Знак отрицательный (-30 < 0).
Значит, в этом интервале производная \(f"(x)\) отрицательна, а значит, функция \(f(x)\) убывает.

6. Исходя из нашего анализа, можем сделать следующий вывод:
- Функция \(f(x) = 24x - 2x^3\) увеличивается на интервале \(-2 < x < 2\).
- Функция \(f(x)\) убывает на интервалах \(x < -2\) и \(x > 2\).

Таким образом, промежутки увеличения функции \(f(x) = 24x - 2x^3\) находятся в интервале \(-2 < x < 2\).