Дайте подробное решение следующей системы уравнений: x-y=5pi/2 ; sinx=2siny

Хорошо! Давайте решим данную систему уравнений пошагово.

Исходная система уравнений:
\[
\begin{align*}
x-y &= \frac{5\pi}{2} \\
\sin(x) &= 2\sin(y)
\end{align*}
\]

Шаг 1: Используем первое уравнение, чтобы выразить переменную \(x\) через \(y\).
\(x = \frac{5\pi}{2} + y\)

Шаг 2: Подставим это во второе уравнение.
\(\sin(\frac{5\pi}{2} + y) = 2\sin(y)\)

Шаг 3: Применим формулу для синуса суммы:
\(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)
\(\sin(\frac{5\pi}{2})\cos(y) + \cos(\frac{5\pi}{2})\sin(y) = 2\sin(y)\)

Шаг 4: Заметим, что \(\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1\) и \(\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0\). Подставим эти значения в уравнение:
\(1\cdot\cos(y) + 0\cdot\sin(y) = 2\sin(y)\)

Шаг 5: Упростим уравнение:
\(\cos(y) = 2\sin(y)\)

Шаг 6: Применим теорему Пифагора (синусы и косинусы одного угла связаны между собой):
\(\cos^2(y) = 1 - \sin^2(y)\)

Шаг 7: Заменим \(\cos^2(y)\) и \(\sin^2(y)\) на выражения из шага 6 в уравнении из шага 5:
\(1 - \sin^2(y) = 1 - 4\sin^2(y)\)

Шаг 8: Раскроем скобки:
\(1 - \sin^2(y) = 1 - 4\sin^2(y)\)

Шаг 9: Упростим уравнение:
\(\sin^2(y) = 0\)

Шаг 10: Возведем обе части уравнения в квадратный корень:
\(\sin(y) = 0\)

Шаг 11: Найдем значения угла \(y\), которые удовлетворяют данному уравнению. Заметим, что синус нулевой при значении угла 0 и кратных ему (например, 360, 720 градусов и так далее).

Шаг 12: Теперь мы знаем значение \(y\). Подставим его в уравнение из шага 1, чтобы найти \(x\):
\(x = \frac{5\pi}{2} + y\)

Шаг 13: Подставим значение \(y = 0\) в уравнение из шага 12:
\(x = \frac{5\pi}{2} + 0\)

Шаг 14: Упростим уравнение:
\(x = \frac{5\pi}{2}\)

Ответ: решение данной системы уравнений - \(x = \frac{5\pi}{2}\) и \(y = 0\).