Дайте диапазон, в котором функция y=x^2+2x+3 увеличивается

Для того чтобы определить диапазон, в котором функция \(y = x^2 + 2x + 3\) увеличивается, мы должны проанализировать её график, а именно кривизну.

Функция \(y = x^2 + 2x + 3\) является квадратичной функцией, что означает, что её график будет представлять собой параболу. Квадратичная функция всегда имеет форму параболы и может быть направлена вверх или вниз, в зависимости от значения коэффициента при \(x^2\), который в нашем случае равен 1 (положительный).

Увеличение функции \(y = x^2 + 2x + 3\) будет происходить тогда, когда значение y будет расти при увеличении x. Вершина параболы является точкой минимума или максимума функции. Так как у нас парабола направлена вверх (так как коэффициент перед \(x^2\) положительный), вершина параболы будет представлять собой минимум функции.

Для нахождения диапазона, в котором функция увеличивается, нужно найти, начиная с какой точки парабола начинает подниматься и продолжает это делать.

Чтобы найти координаты вершины параболы, можно воспользоваться формулой \(x = \frac{-b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты перед \(x^2\) и \(x\) соответственно.

В нашем случае, \(a = 1\) и \(b = 2\).
Применяя формулу, получаем:
\[x = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1\]

Таким образом, абсцисса вершины параболы равна -1. Чтобы найти ординату вершины, подставляем найденное значение \(x\) в исходную функцию:
\[y = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 3\]
\[y = 1 - 2 + 3\]
\[y = 2\]

Таким образом, ордината вершины параболы равна 2.

Зная координаты вершины параболы, мы можем сказать, что функция \(y = x^2 + 2x + 3\) будет увеличиваться в диапазоне \(y > 2\) (значения \(x\) могут быть любыми).

Итак, диапазон, в котором функция увеличивается, это \(y > 2\).