Дано: точка A(12 ; - 4), точка B(-8; -6), точка C(0 ; 9). Найдите: а) координаты вектора AB; б) длину вектора

Для решения данной задачи мы будем использовать понятие векторов и геометрических вычислений. Давайте решим каждую часть по порядку:

а) Чтобы найти координаты вектора AB, мы должны вычислить разность координат между точками B и A. Это делается следующим образом: вычитаем соответствующие координаты точки A из соответствующих координат точки B.

Координаты вектора AB: (x2 - x1; y2 - y1) = (-8 - 12; -6 - (-4)) = (-8 - 12; -6 + 4) = (-20; -2).

Таким образом, координаты вектора AB равны (-20; -2).

б) Для вычисления длины вектора AC мы используем теорему Пифагора. Длина вектора AC равна длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике, образованном его координатами.

Длина вектора AC: \(\sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}\) = \(\sqrt{(0 - 12)^2 + (9 - (-4))^2}\) = \(\sqrt{(-12)^2 + (9 + 4)^2}\) = \(\sqrt{144 + 169}\) = \(\sqrt{313}\).

Таким образом, длина вектора AC равна \(\sqrt{313}\).

в) Чтобы найти координаты середины отрезка AC, мы должны взять среднее арифметическое от соответствующих координат точек A и C.

Координаты середины отрезка AC: ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2) = ((12 + 0)/2; (-4 + 9)/2) = (6; 2.5).

Таким образом, координаты середины отрезка AC равны (6; 2.5).

г) Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех трех его сторон. Для этого мы должны вычислить длины сторон AB, BC и AC, а затем сложить их.

Длина стороны AB: \(\sqrt{(-20)^2 + (-2)^2}\) = \(\sqrt{400 + 4}\) = \(\sqrt{404}\).

Длина стороны BC: \(\sqrt{(-8 - 0)^2 + (-6 - 9)^2}\) = \(\sqrt{(-8)^2 + (-15)^2}\) = \(\sqrt{64 + 225}\) = \(\sqrt{289}\) = 17.

Таким образом, длина стороны BC равна 17.

Длина стороны AC: \(\sqrt{(0 - 12)^2 + (9 - (-4))^2}\) = \(\sqrt{(-12)^2 + (9 + 4)^2}\) = \(\sqrt{144 + 169}\) = \(\sqrt{313}\).

Таким образом, длина стороны AC равна \(\sqrt{313}\).

Периметр треугольника ABC: AB + BC + AC = \(\sqrt{404}\) + 17 + \(\sqrt{313}\).

д) Длина медианы треугольника ABC может быть найдена с использованием формулы:

Длина медианы = \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{2 \cdot (AB^2 + AC^2) - BC^2}\).

Длина медианы = \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{2 \cdot (\sqrt{404})^2 + (\sqrt{313})^2) - 17^2}\) = \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{2 \cdot 404 + 313 - 289}\) = \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{817}\).

Таким образом, длина медианы треугольника ABC равна \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{817}\).