Докажите, что прямая, касающаяся окружности, параллельна прямой

Конечно, у меня есть подробное пошаговое решение этой задачи.

Для начала, давайте вспомним некоторые важные свойства окружностей. Окружность - это геометрическое место точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Вспомните, что радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. Кроме того, если прямая пересекает окружность, то точка пересечения равноудалена от двух концов хорды, образованной этой прямой.

Теперь представьте, что у нас есть окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\), а также прямая \(AB\), которая касается этой окружности в точке \(P\). Мы хотим доказать, что прямая \(AB\) параллельна прямой \(OP\).

Шаг 1: Пусть \(M\) - это середина отрезка \(OP\). Для начала, докажем, что треугольник \(OMP\) - прямоугольный.
Доказательство:
- Радиус окружности \(OM\) равен радиусу окружности \(OP\) (по определению радиуса);
- Отрезок \(OM\) равен отрезку \(PM\) (по определению середины отрезка);
- Значит, треугольник \(OMP\) является равнобедренным;
- Так как угол между радиусом и касательной окружности всегда равен 90 градусам (по определению касательной), то мы можем заключить, что угол \(OMP\) также равен 90 градусам;
- Следовательно, треугольник \(OMP\) - прямоугольный.

Шаг 2: Теперь докажем, что угол \(MOP\) также равен 90 градусам.
Доказательство:
- Рассмотрим треугольник \(OAP\);
- Угол \(OAP\) равен углу \(OAM\) (по определению касательной);
- Угол \(OAM\) равен углу \(OMA\) (по свойству равнобедренного треугольника);
- Таким образом, угол \(OAP\) равен углу \(OMA\);
- Но угол \(OAP\) равен углу \(MOP\) (по свойству вертикальных углов);
- Отсюда следует, что угол \(MOP\) равен углу \(OMA\);
- Следовательно, угол \(MOP\) также равен 90 градусам.

Шаг 3: Заключение.
- Так как угол \(OMP\) и угол \(MOP\) равны 90 градусам, то прямая \(AB\) параллельна прямой \(OP\).

Таким образом, мы доказали, что прямая, касающаяся окружности, параллельна прямой \(OP\).