1. Какой геометрический объект образуется в результате сечения куба плоскостью, проходящей через середины двух соседних

1. При сечении куба плоскостью, проходящей через середины двух соседних сторон нижнего основания и центр верхнего основания, образуется шестигранник, называемый трапецией. Визуализируем это на рисунке:

\[ИЛЛЮСТРАЦИЯ: на рисунке изображен куб с отмеченными серединами сторон нижнего основания (A и B) и центром верхнего основания (C). Плоскость сечения проходит через точки A, B и C. Образовавшаяся на сечении трапеция обозначена буквой T, и отмечены равные стороны \(\overline{DE}\) и \(\overline{FG}\).]

Трапеция имеет две пары параллельных сторон. В данном случае, параллельными сторонами являются \(\overline{DE}\) и \(\overline{FG}\). Отметим, что стороны, соединяющие середины противоположных сторон нижнего основания, также являются равными. Эти стороны обозначены на рисунке. Куб является особым случаем трапеции, где все стороны равны между собой.

2. При сечении куба плоскостью, проходящей через середины двух прилегающих сторон нижней грани и центр верхней грани, образуется правильный шестиугольник. Нарисуем схему:

\[ИЛЛЮСТРАЦИЯ: на рисунке изображен куб с отмеченными серединами прилегающих сторон нижней грани (D и E) и центром верхней грани (F). Плоскость сечения проходит через точки D, E и F. Образовавшийся на сечении правильный шестиугольник обозначен буквой H, и отмечены равные стороны \(\overline{JK}\) и \(\overline{LM}\).]

Правильный шестиугольник имеет все стороны равными. В данном случае, равными сторонами являются \(\overline{JK}\) и \(\overline{LM}\). Также обратим внимание на то, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон нижней грани, также являются равными.

3. При сечении куба плоскостью, проходящей через середины двух смежных сторон оснований и центр верхнего основания, образуется прямоугольник.