Дано: f(x)={x2+4x+3,еслиx∈[−5;0]x+1−−−−√+2,еслиx∈(0;3] Построить график данной функции. Найти интервалы, на которых

Чтобы построить график данной функции, мы должны разделить область определения функции на два интервала: \([-5, 0]\) и \((0, 3]\), и построить графики каждой части отдельно.

Для первого интервала \([-5, 0]\), функция \(f(x)\) равна \(x^2 + 4x + 3\). Чтобы нарисовать график данной функции, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдем вершину параболы, используя формулу \(-\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты в уравнении \(ax^2 + bx + c\). В данном случае \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = 3\). Подставив значения, получим \(-\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\). Таким образом, точка \((-2,f(-2))\) будет вершиной параболы.

2. Зная вершину параболы, мы можем построить график параболы, отобразив ее симметрично относительно вертикальной оси. Так как коэффициент \(a > 0\), парабола будет направлена вверх.

3. Найдем точки пересечения параболы с осями. Для этого нам нужно решить уравнение \(x^2 + 4x + 3 = 0\). Поиск корней даст нам точки пересечения параболы с осью \(x\).

Теперь посмотрим на второй интервал \((0, 3]\), где функция \(f(x)\) равна \(x + 1 - \sqrt{x + 2}\).

Чтобы построить график этой функции, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осью \(x\) путем решения уравнения \(x + 1 - \sqrt{x + 2} = 0\).

2. Используя полученные значения, построим график функции \(f(x)\) на этом интервале.

Теперь, зная графики обоих частей функции на соответствующих интервалах, мы можем ответить на вопросы задачи:

1. Интервал возрастания функции: \(x \in (-2; 3)\)
2. Интервал убывания функции: \(x \in (-\infty;-5) \cup (-3; -2)\)
3. Экстремум функции: для определения экстремумов функции нам требуется найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Для данной функции, на первом интервале у нас есть вершина параболы в точке \((-2, f(-2))\), которая является минимумом функции, так как парабола направлена вверх. На втором интервале, мы должны найти точку, в которой \(\frac{df}{dx} = 0\) или не существует. Для этого нам нужно решить уравнение \(\frac{df}{dx} = 0\) или найти точки, где производная не существует. После нахождения этих точек, мы можем определить, являются ли они экстремумами и указать, являются ли они максимумами или минимумами.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, нам нужно рассмотреть значения функции на концах интервалов, где она определена, и значения в найденных экстремумах. Перебором этих значений мы можем определить наибольшее и наименьшее значения функции.
5. Интервалы, на которых функция сохраняет один и тот же знак: для этого нам нужно анализировать график функции и определить, в каких интервалах функция положительна или отрицательна.
6. Четность функции: чтобы определить четность функции, нам нужно проверить, сохраняется ли функция при замене \(x\) на \(-x\). Если функция сохраняет свое значение, то она является четной, в противном случае - нечетной.
7. Нули функции: нули функции - это значения \(x\), при которых функция равна нулю. Для нахождения нулей на каждом интервале, нам нужно решить уравнение \(f(x) = 0\).
8. Точки пересечения с осями \(x\) и \(y\): эти точки являются точками, где график функции пересекает оси \(x\) и \(y\). Для нахождения точки пересечения с осью \(x\), мы должны решить уравнение \(f(x) = 0\). Для нахождения точки пересечения с осью \(y\), мы должны найти значение функции при \(x = 0\).

Надеюсь, эта подробная информация и пошаговое решение помогут вам лучше понять данную функцию и построить ее график. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.