Что является первым членом арифметической прогрессии, если пятый член равен 6 а девятый?

Для решения этой задачи нам понадобится формула для нахождения \(n\)-ого члена арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем добавления одного и того же числа (называемого разностью) к предыдущему числу.

Общая формула для нахождения \(n\)-ого члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Где \(a_n\) - \(n\)-ый член арифметической прогрессии, \(a_1\) - первый член арифметической прогрессии, \(n\) - порядковый номер члена, \(d\) - разность арифметической прогрессии.

Мы знаем 5-ый член (\(a_5\)) равен 6 и 9-ый член (\(a_9\)) равен \(a_n\). Нам нужно найти первый член (\(a_1\)). Чтобы решить эту задачу, давайте подставим известные значения в формулу:

\[6 = a_1 + (5-1)d\]
\[a_n = a_1 + (9-1)d\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(d\)), но мы можем решить эту систему уравнений, используя метод замены или метод сложения и вычитания. Возьмем первое уравнение и выразим \(d\):

\[6 = a_1 + 4d \quad \Rightarrow \quad d = \frac{6 - a_1}{4}\]

Теперь подставим выражение для \(d\) во второе уравнение:

\[a_1 + (9-1)\left(\frac{6-a_1}{4}\right)\]

Упростим:

\[a_1 + 8\left(\frac{6-a_1}{4}\right)\]

\[a_1 + 2(6-a_1)\]

\[a_1 + 12 - 2a_1\]

\[12 - a_1\]

Мы знаем, что \(a_n\) равно \(12 - a_1\), и это равно \(6\):

\[12 - a_1 = 6\]

Теперь решим это уравнение относительно \(a_1\):

\[a_1 = 12 - 6\]

\[a_1 = 6\]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 6.