Что такое наименьшее и наибольшее значение функции y=1/3 x^3+x^2-3x-4 на интервале -4≤x≤2?

Для решения данной задачи нам необходимо найти наименьшее и наибольшее значение функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 4 \) на интервале \( -4 \leq x \leq 2 \).

Для начала, давайте найдем критические точки функции, то есть значения \( x \), при которых производная функции равна нулю или не существует.

Шаг 1: Найдем производную функции:
\[ y" = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 4) \]

При нахождении производной получим:
\[ y" = x^2 + 2x - 3 \]

Шаг 2: Решим уравнение \( y" = 0 \), чтобы найти критические точки функции:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Можно решить это уравнение, используя факторизацию, полный квадрат или квадратное уравнение. Однако, чтобы сэкономить время, воспользуемся формулой дискриминанта.
\[ D = b^2 - 4ac \]
\[ D = 2^2 - 4(1)(-3) \]
\[ D = 4 + 12 \]
\[ D = 16 \]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два значения \( x \). Решим уравнение:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

Таким образом, получим два значения \( x \): \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 1 \).

Шаг 3: Чтобы определить, являются ли эти значения минимумами или максимумами, проанализируем вторую производную функции \( y \).

Вычислим вторую производную:
\[ y"" = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x - 3) \]
\[ y"" = 2x + 2 \]

Шаг 4: Подставим найденные значения \( x \) во вторую производную, чтобы определить, являются ли они минимумами или максимумами.

Для \( x = -3 \):
\[ y""(-3) = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4 \]

Для \( x = 1 \):
\[ y""(1) = 2(1) + 2 = 2 + 2 = 4 \]

Таким образом, мы видим, что когда \( x = -3 \), вторая производная \( y"" < 0 \), что означает, что точка является максимумом функции. Когда \( x = 1 \), вторая производная \( y"" > 0 \), что означает, что точка является минимумом функции.

Шаг 5: Теперь найдем значение функции при \( x = -4 \), \( x = -3 \), \( x = 1 \) и \( x = 2 \) и сравним их, чтобы определить наименьшее и наибольшее значение на данном интервале.

Подставим значение \( x \) в функцию \( y \):
При \( x = -4 \):
\[ y = \frac{1}{3}(-4)^3 + (-4)^2 - 3(-4) - 4 = \frac{1}{3}(-64) + 16 + 12 - 4 = \frac{-64}{3} + 24 - 4 = \frac{-64}{3} + \frac{72}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-64 + 72 - 12}{3} = \frac{-4}{3} \]

При \( x = -3 \):
\[ y = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) - 4 = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 - 4 = \frac{-27}{3} + \frac{18}{3} = \frac{-9}{3} = -3 \]

При \( x = 1 \):
\[ y = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) - 4 = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 4 = \frac{1}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-11}{3} \]

При \( x = 2 \):
\[ y = \frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 3(2) - 4 = \frac{1}{3} \cdot 8 + 4 - 6 - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} - \frac{4}{3} = \frac{-8}{3} \]

Таким образом, наименьшим значением является \( y = \frac{-11}{3} \), а наибольшим значением является \( y = -3 \) на интервале \( -4 \leq x \leq 2 \).