Что такое двадцать четвертый член арифметической прогрессии, если сумма двенадцатого и тридцать шестого членов этой

Чтобы найти двадцать четвертый член арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии (англ. arithmetic progression) задается следующей формулой:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]
где \(a_n\) - это \(n\)-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - позиция искомого члена, \(d\) - разность между соседними членами.

Мы знаем, что сумма двенадцатого и тридцать шестого членов этой прогрессии составляет 400. Используя формулу суммы арифметической прогрессии (англ. arithmetic progression), мы можем записать следующее:
\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]
где \(S\) - сумма, \(n\) - количество членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - \(n\)-й член.

В нашем случае, количество членов (\(n\)) равно 12 + 36 = 48. Сумма (\(S\)) равна 400.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:
1. \(a_{12} + a_{36} = 400\)
2. \(a_{24} = a_1 + 23 \cdot d\)

Мы можем решить систему уравнений, используя метод подстановки или метод равносильных преобразований. Я выбираю метод равносильных преобразований.

Давайте решим уравнение \(a_{12} + a_{36} = 400\) относительно \(d\).

Подставим \(a_{12} = a_1 + 11 \cdot d\) и \(a_{36} = a_1 + 35 \cdot d\):
\[a_1 + 11d + a_1 + 35d = 400\]
\[2a_1 + 46d = 400\]
\[a_1 + 23d = 200\] (уравнение 1)

Теперь возьмем уравнение \(a_{24} = a_1 + 23 \cdot d\):
\[a_{24} = a_1 + 23d\]

Мы можем использовать это уравнение для подстановки в уравнение 1:
\[a_1 + 23d + 23d = 200\]
\[a_1 + 46d = 200\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
\[ \begin{cases} 2a_1 + 46d = 400 \\ a_1 + 46d = 200 \end{cases} \]

Используя метод равносильных преобразований, вычтем второе уравнение из первого:
\[(2a_1 - a_1) + (46d - 46d) = 400 - 200\]
\[a_1 = 200\]

Теперь мы знаем значение \(a_1\). Давайте подставим его обратно в одно из исходных уравнений, например, в уравнение 1:

\[200 + 23d = 200\]
\[23d = 0\]
\[d = 0\]

Итак, мы получили, что первый член \(a_1\) равен 200, а разность \(d\) равна 0.

Теперь, когда у нас есть \(a_1\) и \(d\), мы можем найти двадцать четвертый член арифметической прогрессии, используя формулу общего члена:

\[a_{24} = a_1 + (24 - 1) \cdot d\]
\[a_{24} = 200 + 23 \cdot 0\]
\[a_{24} = 200\]

Таким образом, двадцать четвертый член арифметической прогрессии равен 200.