Что представляет собой сумма первых четырех членов геометрической прогрессии с начальным членом b1 = 1/216

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Дано, что начальный член геометрической прогрессии равен \(b_1 = \frac{1}{216}\) и коэффициент прогрессии равен \(q\), но значение \(q\) не указано.

Для нахождения суммы первых четырех членов геометрической прогрессии нам необходимо найти четыре последовательных члена этой прогрессии, а затем сложить их.

Чтобы найти первые четыре члена геометрической прогрессии, мы воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1},\]

где \(b_n\) - \(n\)-ый член геометрической прогрессии.

Так как мы ищем сумму первых четырех членов прогрессии, мы должны найти значения \(b_1, b_2, b_3\) и \(b_4\).

1. Член геометрической прогрессии \(b_1 = \frac{1}{216}\).
2. Чтобы найти \(b_2\), подставим \(n = 2\) в формулу общего члена геометрической прогрессии:

\[b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q.\]

3. Чтобы найти \(b_3\), подставим \(n = 3\) в формулу общего члена:

\[b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2.\]

4. Чтобы найти \(b_4\), подставим \(n = 4\) в формулу общего члена:

\[b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3.\]

Итак, мы нашли значения первых четырех членов геометрической прогрессии:

\[b_1 = \frac{1}{216},\]
\[b_2 = b_1 \cdot q,\]
\[b_3 = b_1 \cdot q^2,\]
\[b_4 = b_1 \cdot q^3.\]

Теперь мы можем найти сумму первых четырех членов прогрессии:

\[S = b_1 + b_2 + b_3 + b_4.\]

Подставим найденные значения и сделаем простые алгебраические преобразования:

\[S = \frac{1}{216} + (b_1 \cdot q) + (b_1 \cdot q^2) + (b_1 \cdot q^3).\]

\[S = \frac{1}{216} + \left(\frac{1}{216} \cdot q\right) + \left(\frac{1}{216} \cdot q^2\right) + \left(\frac{1}{216} \cdot q^3\right).\]

Теперь сгруппируем члены с общим множителем:

\[S = \frac{1}{216} \left(1 + q + q^2 + q^3\right).\]

Итак, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии с начальным членом \(b_1 = \frac{1}{216}\) и коэффициентом \(q\) равна \(\frac{1}{216} \left(1 + q + q^2 + q^3\right)\).