14.12. Постройте диаграмму функции f(x) = -2х2 - x+7 и, при помощи графика, определите: 1) координаты вершины параболы

Хорошо, я с удовольствием помогу вам решить эту задачу. Для построения графика функции \(f(x) = -2x^2 - x + 7\) мы будем использовать несколько шагов.

Шаг 1: Найдем координаты вершины параболы и положение оси симметрии. Формула для нахождения координат вершины параболы имеет вид:
\[x = -\frac{b}{2a}\]
\[y = f(x)\]

Для нашей функции \(f(x) = -2x^2 - x + 7\) коэффициенты \(a = -2\), \(b = -1\), и \(c = 7\). Подставим их в формулу и рассчитаем:
\[x = -\frac{-1}{2(-2)} = -\frac{1}{4}\]
\[y = f\left(-\frac{1}{4}\right)\]

Теперь мы знаем, что вершина параболы имеет координаты \(\left(-\frac{1}{4}, f\left(-\frac{1}{4}\right)\right)\).

Ось симметрии параболы проходит через ее вершину.

Шаг 2: Найдем максимальное значение функции и множество значений функции. Для параболы с ветвями, направленными вниз, максимальное значение функции будет достигаться на вершине параболы. Таким образом, максимальное значение функции равно \(f\left(-\frac{1}{4}\right)\).

Множество значений функции \(f(x)\) - это все возможные значения \(y\) для любого \(x\) в области определения функции. В данном случае, поскольку у нас парабола, ветви которой направлены вниз, множество значений будет всеми отрицательными числами, которые меньше или равны значению функции в вершине.

Шаг 3: Найдем интервалы, на которых функция возрастает и убывает. Чтобы определить, когда функция возрастает или убывает, нам нужно посмотреть на знак производной функции (первая производная).

Сначала найдем первую производную \(f"(x)\):
\[f"(x) = -4x - 1\]

Затем решим неравенство \(f"(x) > 0\) для определения интервалов, на которых функция возрастает, и неравенство \(f"(x) < 0\) для определения интервалов, на которых функция убывает.

\(f"(x) > 0\):
\[-4x - 1 > 0\]
\[-4x > 1\]
\[x < -\frac{1}{4}\]

\(f"(x) < 0\):
\[-4x - 1 < 0\]
\[-4x < 1\]
\[x > -\frac{1}{4}\]

Таким образом, на интервале \((- \infty, -\frac{1}{4})\) функция убывает, а на интервале \((- \frac{1}{4}, +\infty)\) функция возрастает.

Теперь мы можем построить график функции \(f(x) = -2x^2 - x + 7\) с учетом всех полученных результатов.