Что представляет собой общий вид первообразной для функции f(x)=(4-5x)^7?

Для нахождения первообразной функции \(\int f(x) dx\) от функции \(f(x)\) вам потребуется использовать метод дифференцирования обратный процессу интегрирования. Начнем с заданной функции \(f(x) = (4-5x)^7\).

Шаг 1: Применяем правило степенной функции
Нам дана функция в виде степени, поэтому мы можем использовать правило степенной функции для дифференцирования. В случае функции вида \(f(x) = ax^n\), производная будет равна \(f"(x) = n \cdot ax^{n-1}\).

Применим это правило к заданной функции \(f(x) = (4-5x)^7\):
\[f"(x) = 7 \cdot (4-5x)^{7-1}\]

Шаг 2: Упрощение производной
Теперь упростим выражение для производной, чтобы получить более простую формулу. В данном случае выражение уже упрощено, поскольку мы не можем дальше упростить \((4-5x)^6\).

Шаг 3: Интегрирование
Получили, что производная функции \(f(x) = (4-5x)^7\) равна \(f"(x) = 7 \cdot (4-5x)^6\). Теперь мы можем найти первообразную функцию, интегрируя производную обратно. Мы ищем функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\).

\[\int f(x) dx = \int (4-5x)^7 dx = \int f"(x) dx = \int 7 \cdot (4-5x)^6 dx\]

Шаг 4: Применение формулы интегрирования
Теперь мы можем использовать формулу интегрирования для степенных функций, которая гласит:
\[\int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\]
где \(C\) - константа интегрирования.

Применяя эту формулу к нашему интегралу \(\int 7 \cdot (4-5x)^6 dx\), получаем:
\[\int 7 \cdot (4-5x)^6 dx = \frac{{(4-5x)^7}}{{7 \cdot (-5)}} + C\]

Ответ: Следовательно, общий вид первообразной для функции \(f(x)=(4-5x)^7\) равен:
\[F(x) = \frac{{(4-5x)^8}}{{-35}} + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная.