Что нужно рассчитать для треугольника, используя координаты точек A=(1;2;4), B=(3;2;4) и C=(7;8;8)?

Чтобы рассчитать различные характеристики треугольника ABC, используя координаты его вершин A=(1;2;4), B=(3;2;4) и C=(7;8;8), мы можем применить несколько методов.

1. Длины сторон треугольника:
Для вычисления длин сторон AB, BC и AC применим формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Вычислим расстояния между A и B, B и C, а затем между A и C с помощью формулы:

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\]

где (x_1; y_1; z_1) и (x_2; y_2; z_2) - координаты двух точек.

Таким образом, длина стороны AB будет равна:

\[AB = \sqrt{(3-1)^2 + (2-2)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2\]

Длина стороны BC:

\[BC = \sqrt{(7-3)^2 + (8-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 16} = \sqrt{68}\]

Длина стороны AC:

\[AC = \sqrt{(7-1)^2 + (8-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{36 + 36 + 16} = \sqrt{88}\]

2. Найдем углы треугольника:
Углы треугольника можно найти с помощью формулы косинусов. Возьмем, например, угол ABC. Для его вычисления, мы можем использовать следующее соотношение:

\[\cos(ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\]

Заметим, что если угол ABC найден, то аналогичные вычисления можно провести для остальных двух углов.

3. Периметр треугольника:
Зная длины всех трех сторон треугольника, мы можем найти его периметр, сложив длины сторон:

\[P = AB + BC + AC\]

4. Площадь треугольника:
Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)}\]

где \(p\) - полупериметр, который можно вычислить как половину суммы длин сторон:

\[p = \frac{{AB + BC + AC}}{2}\]

Таким образом, используя данные координаты точек A, B и C, мы можем рассчитать: длины сторон треугольника (AB, BC, AC), углы треугольника (ABC, BCA, CAB), периметр и площадь треугольника.